اختباركاي مربع - اختبار جودة المطابقة

$\left(x_{0}^{\ast },x_{1}^{\ast }\right],\,\left(x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast }\right],\,\ldots ,\left(x_{k-1}^{\ast },x_{k}^{\ast }\right]\,$

$\,\left(x_{j-1}^{\ast },x_{j}^{\ast }\right],\quad j=1,\ldots ,k.$

نعرف لأجل الحالة المستمرة:

• $h\left(x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}\right)=h_{j}$ التكرار المطلق المشاهد للفئة j في العينة, $j=1,\ldots ,k$,

• $P\left(x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}\right)$احتمال $X$ بفرض القيم ضمن الفئة j , $\left(x_{j-1}^{*},x_{j}^{*}\right)$

$j=1,\ldots ,k$.

الفرضيات

تبين الفرضية الصفرية لاختبار جودة المطابقة بأن النموذج الاحتمالي المفروض يصف بدقة توزيع

البيانات في المجتمع , تحتوي الفرضية البديلة على رفض هذا الادعاء. بتطبيق اختبار كاي مربع

باستعمال المصطلحات فوق, يصاغ الاختبار كالتالي:

X منقطع :

$H_{0}:\;P\left(X=x_{j}\right)=p_{j}\quad \forall j=1,\ldots ,k$

مقابل

$H_{1}:\;P\left(X=x_{j}\right)\neq p_{j}\quad {\mbox{ for at least one j}}$

X مستمر :

$H_{0}:\;P\left(x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}\right)=p_{j}\quad \forall j=1,\ldots ,k$

مقابل

$H_{1}:\;P\left(x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}\right)\neq p_{j}\quad {\mbox{ for at least one j}}$

في كلا الحالتين يعرف $p_{j}$ احتمال $X$ بفرض القيمة $x_{j}$ (أو تقع في فئة j) $\left(x_{j-1}^{*},x_{j}^{*}\right)$

نعطي الفرضية الصفرية لتكون صحيحة وحينئذ $F_{0}(x)$ التوزيع الاحتمالي الصحيح :

$p_{j}=P\left(X=x_{j}|H_{0}\right)\quad {\mbox{ bzw.}}\quad p_{j}=P\left(x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}|H_{0}\right)$

كيف نحسب $p_{j}$

تابع التوزيع العددي المحدد بشكل كامل:

تحسب القيمة $p_{j}$ بسهولة اذا التوزيع النظري هو التابع المحدد بشكل كامل, اذا $F_{0}(x)$ عنصر في بعض الفئة العددية, تكون كل العناصر معلومة.

مثال: $X$ له توزيع بواسون $PO(\lambda )$ مع العنصر المعطى $\lambda$

تابع التوزيع العددي المحدد بشكل جزئي:

اذا التوزيع النظري يعود للعائلة العددية التي تتضمن عنصر أو أكثر , أو على الأقل عنصر مجهول , سنقدر قبل حساب $p_{j}$

مثال: نريد اختبار $X$ اذا له التوزيع الطبيعي $N(\mu ,\sigma )$ حيث

التوقع $\mu$ والتباين $\sigma$ مجهولان .

نريد تقدير هذه العناصر باستعمال المعلومات بواسطة العينة للحصول على تابع التوزيع المحدد بشكل كامل ونحسب الاحتمالات النظرية $p_{j}$

التوزيع التكراري: تبين الفرضية الصفرية أن النموذج الاحتمالي النظري في صيغة التوزيع التكراري العددي.

مثال : سيأخذ المتغير العشوائي $X$ القيم الممكنة الأربعة مع الاحتمالات المرتبطة $p_{1}=0,2,\;p_{1}=0,4,\;p_{1}=0,1$ و $p_{1}=0,3$ .

الاختبار الاحصائي وتوزيعه , مجالات القرار

مفاهيم الاختبارات لتقارن الاحتمالات النظرية المشتقة من التوزيع النظري المذكور في الفرضية الصفرية مع التكرارات النسبية المشاهدة.

يبنى الاختبار الاحصائي على التكرارات المطلقة المشاهدة $h_{j}$. نسحب عينة ما من الحجم $n$ , نحسبهم كتكرارات للحوادث $\left\{X=x_{j}\right\}$ على التوالي $\left\{x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}\right\}$

تشكل مجموعة كل التكرارات المطلقة $h_{j}$ توزيع العينات, هي عشوائية لأن العينة العشوائية تنشأ من التجربة العشوائية .

نعتبر لذلك التكرارات المطلقة $h_{j}$ كقيم فعلية للمتغيرات المشاهدة $H_{j}$.

اذا الفرضية الصفرية صحيحة, تعطى القيم المتوقعة للتكرارات النسبية في العينة بواسطة الاحتمالات $p_{j}$.

التوقعات للتكرارات المطلقة هي: $np_{j}$.

المقارنة بين التكرارات المشاهدة والمتوقعة تتركز حول الفروق $H_{j}-np_{j},\;(j=1,\ldots ,k)$

الطريقة لتعزيز الاختلافات حول النتائج الممكنة (الفئات) تشرح من خلال الاختبار الاحصائي التالي:

$V=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\left(H_{j}-np_{j}\right)^{2}}{np_{j}}}$

تحت الفرضية $H_{0}$, $V$ له توزيع كاي مربع مع درجة الحرية $f=k-m-1$.

الشروط التقريبية:

يفرض التقريب ليكون كافي اذا:

• $np_{j}\geq 1$ لأجل كل $j$ و

• $np_{j}\geq 5$ على الأقل 80% من التكرارات المطلقة المتوقعة.

الوسيلة لضمان تطبيق اختبار كاي مربع عندما لا تفي هذه الشروط في المجموعة الأصلية لتجمع الفئات المتجاورة للفئات الكبيرة.

كاحتمالات نظرية ثابتة $p_{j}$, سينتج دائما الزيادة في حجم العينة $n$ التحسين في دقة التقريب.

لتحديد درجة الحرية نأخذ الحالتين في الاعتبار :

• $k$ عدد الفئات بعد التركيب الضروري الممكن للفئات.

• $m$ عدد العناصر التي تقدر من العينة لتحديد التوزيع , اذا التوزيع الاحتمالي يفرض في $H_{0}$ يحدد بشكل كامل, $m=0$ هو الصفر.

نلاحظ $\left(H_{j}-np_{j}\right)^{2}/np_{j}$ لا يمكن أن تكون سالبة, الاختبار الاحصائي $V$ كمجموع هذه النسب تفرض فقط قيم موجبة.

تحول الانحرافات الكبيرة (المطلقة) $H_{j}-np_{j}$ لقيم موجبة عالية لقيمة الاختبار الاحصائي , يؤدي ذلك لزيادة الامكانية لرفض $H_{0}$.

كقيم عالية للاختبار الاحصائي يقود لرفض الفرضية الصفرية , اختبار كاي مربع هو الاختبار الأحادي الجانب الأيمن لأجل القيمة الحرجة $c$

$P(V\leq c)=1-\alpha$ لأجل درجة الحرية المعطاة المأخوذة من جدول تابع التوزيع لكاي مربع .

تكون مجالات القرارات:

مجال الرفض لأجل $H_{0}$:

$\left\{v|v>\chi _{1-\alpha ;f}^{2}\right\}$.

مجال القبول لأجل$H_{0}$:

$\left\{v|v\leq \chi _{1-\alpha ;f}^{2}\right\}$.

نفرض احتمال القيمة $V$ من مجال الرفض لأجل $H_{0}$ , باعطاء $H_{0}$ صحيحة ومساوية لمستوى الدلالة $\alpha =P\left(V>\chi _{1-\alpha ;k-m-1}^{2}|H_{0}\right)$

يقع احتمال $V$ في مجال القبول للفرضية $H_{0}$

$P\left(V\leq \chi _{1-\alpha ;k-m-1}^{2}|H_{0}\right)=1-\alpha$.

مجال الرفض $H_{0}$ مجال القبول | $H_{0}$

العينة وحساب الاختبار الاحصائي

لدينا العينة العشوائية من الحجم $n$ , نحسب التكرارات المطلقة $h_{j}$,

ستقدر العناصر المجهولة في التوزيع النظري ونحسب التكرارات المطلقة المتوقعة $np_{j}$

باستبدال هذه المعطيات في صيغة الاختبار الاحصائي نعطي قيمة الاختبار الاحصائي $v$.

قرار الاختبار والتعاريف

اذا $v$ تقع في مجال الرفض للفرضية $H_{0}$, سنرفض الفرضية الصفرية على أساس العينة العشوائية من الحجم $n$ ومستوى الدلالة $\alpha$

في هذه الحالة يظهر الباحث احصائيا بأن توزيع المجتمع للمتغير العشوائي $X$ يعطى بواسطة $F_{0}(x)$

رفض الفرضية الصفرية يصنع للباحثين موضوع خطر خطأ النوع الأول.

اذا $v$ تشاهد ضمن مجال القبول , نقبل الفرضية الصفرية على أساس العينة الجزئية من الحجم $n$ لأجل مستوى الدلالة المعطاة $\alpha$.

وهذا يضعنا في حالة عمل خطأ النوع الثاني .