و
ويشار له
اذا وفقط اذا تابع كثافته الاحتمالي :
يعتمد التوزيع الطبيعي على العنصرين
و
, أي
خاصتان هامتان للمتغيرات العشوائية الطبيعية :
التحويل الخطي:
لدينا X موزع توزيع طبيعي
و Y هو تركيب خطي الى X:
عندئذ المتغير العشوائي Y له التوزيع الطبيعي أيضا :
قيم العناصر للمتغير العشوائي المحول , يتبع من قواعد الحساب مع القيم المتوقعة و التباينات:
.
خاصة اعادة الانتاج : دعنا نعتبر المتغيرات العشوائية n
مع التوزيعات الطبيعية
مجموع المتغيرات العشوائية الموزعة طبيعيا والمستقلة
, بمعنى
لأجل واحد على الأقل , ويكون له توزيع طبيعي ثانية
يعرض الشكل البياني تابع الكثافة والتوزيع للمتغير العشوائي ( N(2;1
تابع الكثافة الاحتمالي
يشير المتغير العشوائي Z بالمتغير العشوائي المعياري الذي يتمركز حول متوسطه ويقاس بانحرافه المعياري.
اذا X موزع طبيعيا, عندئذ Z له التوزيع الطبيعي أيضا.
التوزيع الطبيعي المعياري :
يشار التوزيع Z عادة بالتوزيع الطبيعي المعياري (1 ; 0 ) N .
تابع الكثافة الاحتمالي للتوزيع الطبيعي المعياري:
تابع التوزيع للتوزيع الطبيعي المعياري:
القيمة المتوقعة و التباين للتوزيع الطبيعي المعياري :
Var(Z) = 1 E(Z) = 0
يعرض تابع الكثافة والتوزيع للمتغير العشوائي الطبيعي المعياري بالأشكال التالية:
تابع الكثافة الاحتمالي (N(0;1
)
أي يشار:
مجال الثقة:
مجال الثقة للمتغير العشوائي X المجال مع الحدود
و
أي سيحتوي قيمة المتغير العشوائي X مع الاحتمال (
- 1 ), بمعنى (
-1 .100% ) من كل قيم X التي ستقع في هذا المجال و (
.100% ) ستقع خارج المجال (
- 1 ) يشار عادة كدرجة ثقة.
للقيم المعروفة من
القيمة المتوقعة من X, يبنى المجال لجعل احتمال X يقع خارج هذه المنطقة ( توجد منطقتين) مع الاحتمال 2 /
ندعو المجال
(
) = (
)
مجال الثقة المتناظر مع درجة الثقة .
- 1 =(
P
)
لتأكيد على أهمية الانحراف المعياري كعنصر قياس , انحراف X عن قيمته المتوقعة
يقاس عادة بالجداء من
مجال الثقة له الصيغة
X
c -
اذا المتغير العشوائي X هو N(
) عندئذ لأجل
c +
x=
الصيغ التالية:
و P(Z
z ) =
(z) = 1 -
/2 .
القيمة الحرجة
للاحتمال
/2 - 1 يتم الحصول عليه من قيم الجدول للتوزيع الطبيعي المعياري .
باستعمال هذه القيم نحصل على مجال الثقة للمتغير العشوائي الموزع طبيعيا:
والاحتمال "لهذا المجال":
مجال الثقة للمتغير العشوائي الموزع طبيعيا:
أي:
.
لأجل z المعطاة نحسب درجات الثقة للمجال:
|
|
|
|
|
|
|
من جهة أخرى نجد أيضا القيمة z التي تنتج درجة الثقة المطلوبة
- 1
مثال: