ميل السلاسل الزمنية

ميل السلاسل الزمنية,حساب المتوسطات المتحركة,المتوسط المتحرك البسيط

12.2 ميل السلاسل الزمنية

يبدأ تحليل السلاسل الزمنية مع استخراج التصرفات الطويلة الأمد أو الميل من القيم المشاهدة.

توجد أساليب مختلفة تقود لخطوط الميل المختلفة للسلاسل الزمنية, يتطلب اختيار الطريقة المعينة

مقارنة المزايا والعيوب سنقدم في هذا القسم طريقة المربعات الصغرى والمتوسطات المتحركة.

طريقة المتوسط المتحرك

في هذه الطريقة الميل المقدر عند كل نقطة من الزمن هو المتوسط المثقل للبيانات المشاهدة الأصلية:

$T(t)=\sum \limits _{i=-a}^{b}\lambda _{i}x_{t+i}$

مع

$\sum \limits _{i=-a}^{b}\lambda _{i}=1$

يعتمد اختيار $\lambda _{i}$ على الاختلافات الموسمية الدورية. نستخدم عادة الأوزان المتناظرة (a=b) التي تشمل المستقبل كما الفترات السابقة .

اذا الأوزان $\lambda _{i}$ متساوية لأجل i, يدعى ذلك بالمتوسط المتحرك البسيط وغير متساوية ندعوها بالمتوسط المتحرك المثقل.

التكرارات المستخدمة للسلاسل الزمنية مع الاختلافات الموسمية

الأوزان المتطابقة ($a=b$) وتحدد غالبا لهذا $2a+1$ الأوزان في الأقواس المربعة لتسوية السلاسل الزمنية الموسمية ستطبق الأوزان التالية: السبب أن الأوزان خارج التغيرات الدورية من البيانات الأصلية لحساب الميل:

• بيانات النصف السنوية, ست أشهر:

$[1/4,\;1/2,\;1/4]\quad (a=1)$

$[1/8,\;1/4,\;1/4,\;1/4,\;1/8]\quad (a=2)$

• البيانات الربعية, ثلاث أشهر:

$[1/8,\;1/4,\;1/4,\;1/4,\;1/8]\quad (a=2)$

$[1/16,\;1/8,\;1/8,\;1/8,\;1/8,\;1/8,\;1/8,\;1/8,\;1/16]\quad (a=4)$

• البيانات الشهرية:

$[1/24,\;1/12,\;1/12,\;1/12,\;1/12,\;1/12,\;1/12,\;1/12,\;1/12,\;1/12,\;1/12,\;1/12,\;1/24]\quad (a=6)$

مثال: عدد السيارات المسجلة حديثا في برلين 1977:1 - 1989:4

الأوزان: $[1/8,\;1/4,\;1/4,\;1/4,\;1/8]$

الخط الأحمر: السلاسل الأصلية.

الخط الأسود: السلاسل المستحدثة الميل.

طريقة المربعات الصغرى

طريقة المربعات الصغرى هي المفهوم الثاني لتقدير مكونات الميل للسلاسل الزمنية. قدمت الطريقة

في قسم تحليل الانحدار. نختار مجموعة التوابع التي تصف الميل كتابع للزمن $t$ وتقدير عناصر هذه التوابع.

تصغر قيم العناصر مجموع الانحرافات المربعة للميل عن البيانات الأصلية:

$\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-{\widehat {x}}_{t})^{2}\rightarrow {\mbox{ min.}}$

أصغر ما يمكن بالتالي سنشتق التعابير لتقديرات المربعات الصغرى لميل الانحدار البسيط وتوابع الميل الأسية .

تابع الميل الخطي

نفرض المتغير $X$ يرتبط خطيا بالزمن $t$

${\widehat {x}}_{t}=a+b\cdot t$

يعتمد مجموع البواقي المربعة على العناصر $a$ و $b$ كالتالي:

$S(a,b)=\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-{\widehat {x}}_{t})^{2}=\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-a-b\cdot t)^{2}\rightarrow {\mbox{ min.}}$

أصغر ما يمكن تصغير النتائج في المقدرات التالية للعناصر:

$a={\frac {\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\sum \limits _{t=1}^{T}t\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}t}{T\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$

$b={\frac {T\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}t-\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}\sum \limits _{t=1}^{T}t}{T\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$

مثال:

مؤشر السعر للخدمات الأجنبية في برلين: 1977:1 - 1989:4

${\widehat {x}}_{t}=99,12+1,701\cdot t\qquad R^{2}=0,9923$

حيث تطابق $t=0$ لعام 1976:4.

الميل الأسي

نفرض المتغير $X$ يرتبط أسيا بالزمن $t$ له الصيغة:

${\widehat {x}}_{t}=ab^{t}$

أو بشكل مشابه الصيغة اللوغارتمية :

$\log {\widehat {x}}_{t}=(\log a)+t\log b$

تصغر المربعات الصغرى النتائج الأقل في المقدرات التالية للعناصر:

$\log a={\frac {\sum \limits _{t=1}^{T}\log x_{t}\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\sum \limits _{t=1}^{T}t\sum \limits _{t=1}^{T}t\log x_{t}}{T\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$

$\log b={\frac {T\sum \limits _{t=1}^{T}t\log x_{t}-\sum \limits _{t=1}^{T}\log x_{t}\sum \limits _{t=1}^{T}t}{T\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$

مثال:

عدد التلفونات في الولايات المتحدة 1900 - 1970

$\log {\widehat {x}}_{t}=3,553645+0,021448\cdot t$

$R^{2}=0,9923$

حيث $t=0$ تطابق لعام 1899.

${\widehat {x}}_{t}=3578,04\cdot (1,051)^{t}$