مجال الثقة للنسبة

مجال الثقة للنسبة,مجالات الثقة للنسبة – المثال التفاعلي:,المثال التوضيحي : مجالات الثقة لنسبة المجتمع

8.6 مجال الثقة للنسبة

نفرض السحب من المجتمع الثنائي التصنيف, حيث $\pi$ تشير لنسبة العناصر مع الخاصة المعطاة, نريد تقدير مجال الثقة للعنصر المجهول $\pi$.

نسحب العينة العشوائية من الحجم $n$ حيث $X_{1},\ldots ,X_{n}$ مستقلة ومتماثلة وموزعة بتوزيع بيرنولي (شاهد قسم التوزيع الثنائي ).

تكون نسبة العينة عدد "النجاحات" في العينة ومتوسط متغيرات بيرنولي $X_{1},\ldots ,X_{n}$. وللتأكيد أن نسبة العينة هي متوسط العينة لهذا:

${\widehat {\pi }}={\frac {x}{n}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$

مع التوقع والتباين:

$E({\widehat {\pi }})=\pi$

$Var({\widehat {\pi }})=\sigma ^{2}({\widehat {\pi }})={\frac {\pi (1-\pi )}{n}}$

انه مقدر غير متحيز و فعال الى $\pi$ (شاهد قسم خواص المقدرات).

من الصعب جدا بناء مجالات الثقة للعينات الصغيرة , لذلك نقيد أنفسنا في حالة حجم العينة $n$ كبير بشكل كافي, لذلك يمكن استعمال نظرية الحد المركزية للحصول على توزيع المقدر.

$Z={\frac {{\widehat {\pi }}-\pi }{\sigma ({\widehat {\pi }})}}={\frac {{\widehat {\pi }}-\pi }{\sqrt {\frac {\pi (1-\pi )}{n}}}}$

يتم تقريبه للتوزيع الطبيعي المعياري $Z\sim N(0;1)$ , عندئذ نستنتج أن :

$P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq {\frac {{\widehat {\pi }}-\pi }{\sigma ({\widehat {\pi }})}}\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)\approx 1-\alpha$

حيث $z_{1-\alpha /2}$ نحصل عليها من جداول التوزيع الطبيعي المعياري .

حتى الأن لا نستطيع بناء مجال الثقة الى $\pi$ حيث تباين ${\widehat {\pi }}$ يعتمد على $\pi$ المجهول.

ببساطة نستبدل $\sigma ({\widehat {\pi }})$ مع التقدير الثابت

${\widehat {\sigma }}({\widehat {\pi }})={\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}(1-{\widehat {\pi }})}{n}}}$

تصبح الصيغة الاحتمالية في الأعلى

$P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq {\frac {{\widehat {\pi }}-\pi }{{\hat {\sigma }}({\widehat {\pi }})}}\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)\approx 1-\alpha$

نعزل $\pi$ في منتصف الصيغة الاحتمالية للحصول :

$P\left({\widehat {\pi }}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}(1-{\widehat {\pi }})}{n}}}\;\leq \;\pi \;\leq \;{\widehat {\pi }}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}(1-{\widehat {\pi }})}{n}}}\right)\approx 1-\alpha$

حينئذ لأجل أحجام العينات الكبيرة , يعطى مجال الثقة التقريبي بواسطة:

$\left[{\widehat {\pi }}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}(1-{\widehat {\pi }})}{n}}},\quad {\widehat {\pi }}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}(1-{\widehat {\pi }})}{n}}}\right]$

يزود التوزيع الطبيعي كتقريب مقبول ما دام $\pi$ ليس قريب من الصفر أو الواحد,

بشكل مثالي حجم العينة يجب ألا يقل عن 30 ويفضل حجم العينة كبير مثال : $n\geq 100$.

خواص مجالات الثقة :

• تبنى مجالات الثقة ثنائية الاتجاه باستعمال الاحتمالات المتساوية :

$P\left(\pi <{\widehat {\pi }}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}(1-{\widehat {\pi }})}{n}}}\right)\approx {\frac {\alpha }{2}},\quad P\left({\widehat {\pi }}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}(1-{\widehat {\pi }})}{n}}}<\pi \right)\approx {\frac {\alpha }{2}}$

• عند بناء مجا ل الثقة يكون متناظر حول تقدير النقطة ${\hat {\pi }}$ .

• طول المجال :

$L=2z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}(1-{\widehat {\pi }})}{n}}}$

هو متغير عشوائي حيث يعتمد $\pi$ على العينة العشوائية.

• يعتمد طول مجال الثقة على درجة الثقة $1-\alpha$ و على $n$