توزيع متوسط العينات

توزيع متوسط العينات ,مثال توضيحي لتوزيعات العينات ,مثال لتوزيع العينات ,المعلومات الاضافية لتوزيع العينات

7.2 توزيع متوسط العينات

التوزيع الاحصائي (الذي نفسه تابع العينة ) يسمى بتوزيع المعاينة. ويستخدم الاحصائية لتقدير خواص المجتمع

المجهول أو العناصر أو لأجل اختبار الفرضيات. وتشمل هذه المهام بيانات الاحتمال التي ستعمل فقط اذا

التوزيعات الاحصائية للعينة معروفة أو يمكن تقريبها. لأجل كل الاحصاءات الهامة نستعرض في كل حالة

توزيع المعاينة, قيمتها المتوقعة والتباين.

توزيع متوسط العينة

نعتبر العينة من المجتمع مع تابع التوزيع $F(x)\,$ , القيمة المتوقعة $E(X)=\mu \,$ والتباين $Var(X)=\sigma ^{2}\,$

من أكثر الاحصاءات الهامة متوسط العينة .

يعطى متوسط العينة بواسطة :

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$

القيمة المتوقعة, التباين الانحراف المعياري لمتوسط العينة

تعطى القيمة المتوقعة, التباين والانحراف المعياري لمتوسط العينة بواسطة:

1- للعينة العشوائية مع الاعادة

$E({\bar {X}})=\mu$

$Var({\bar {X}})=\sigma _{\bar {x}}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$

$\sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

2- للعينة العشوائية بدون اعادة

$E({\bar {X}})=\mu$

$Var({\bar {X}})=\sigma _{\bar {X}}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}$

$\sigma _{\bar {X}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\cdot {\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}$

يدعى المعامل $(N-n)/(N-1)\,$ بمعامل تصحيح العينة المنتهية.

اذا تباين المجتمع $Var(X)=\sigma ^{2}\,$ مجهول, سيتم تقديره بواسطة $S^{2}\,$.

في الصيغ أعلاه نستبدل $\sigma ^{2}\,$ بواسطة $S^{2}\,$

ذلك يقود لمقدر التباين لمتوسط العينة ويعطى بواسطة :

• لأجل العينة العشوائية البسيطة:

${\widehat {\sigma ^{2}}}_{\bar {X}}={\frac {s^{2}}{n}}$

• لأجل العينة العشوائية بدون اعادة:

${\widehat {\sigma ^{2}}}_{\bar {X}}={\frac {s^{2}}{n}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}$

هذه النتائج لتوقع وتباين متوسط العينة بغض النظر عن الصيغة المحددة لتوزيعها.

توزيع متوسط العينة ( توزيع المعاينة) :

توزيع متوسط العينة $F({\bar {x}})$ يتم تعيينه بتوزيع ${\bar {X}}$

في المجتمع. لكل حالة في الأسفل نفرض عينة عشوائية بالاحلال.

1- $X$ له توزيع طبيعي :

نفرض أن $X\,$ يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط $\mu \,$ وتباين $\sigma ^{2}\,$ ,ذلك يعني:

$X\sim N(\mu ,\,\sigma ^{2})$

• تباين المجتمع $\sigma ^{2}\,$ معلوم, في هذه الحالة ${\bar {X}}$ له التوزيع الطبيعي التالي:

${\bar {X}}\sim N(\mu ,\;\sigma _{\bar {X}}^{2})$

والمتغير العشوائي المعياري

$Z={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sigma _{\bar {x}}}}={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sigma }}{\sqrt {n}}$

له التوزيع الطبيعي المعياري $Z\sim N(0,1)$

• تباين المجتمع $\sigma ^{2}\,$ مجهول, في هذه الحالة ينبغي التقدير بواسطة $S^{2}\,$, المتغير العشوائي المحول:

$T={\frac {{\bar {x}}-\mu }{s}}{\sqrt {n}}$

له توزيع t بدرجات حرية هي $f=n-1\,$. يسمى هذا التوزيع

بالتوزيع الطبيعي المعياري ويشار عادة بواسطة $T\sim t\;(f=n-1)$

عندما $n\,$ تزداد يقر ب توزيع-t من التوزيع الطبيعي المعياري. ويكون التقريب جيد اذا كانت $n>30\,$

2-المتغير $X$ له توزيع عشوائي: هذه هي القضية الأهم للتطبيقات في الاقتصاد والأعمال حيث

توزيع العديد من المتغيرات لا ينبغي تقريبها بواسطة التوزيع الطبيعي أو صيغه الخاصة المجهولة.

نعتبر $n\,$, من المتغيرات العشوائية $X_{i}\;(i=1,\dots ,n)$ لهم نفس التوزيع ومستقلين عن بعضهم البعض .

المتغيرات العشوائية لها القيمة المتوقعة $E(X_{i})=\mu \,$ والتباين $Var(X_{i})=\sigma ^{2}\,$.

وطبقا لنظرية النهاية المركزية تحمل الخواص التالية :

• اذا $\sigma ^{2}\,$ معلوم, عندئذ المتغير العشوائي

$Z={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sigma }}{\sqrt {n}}$

يقترب من التوزيع الطبيعي المعياري اذا كانت $n\,$ كبيرة بشكل كافي.

• اذا $\sigma ^{2}\,$ مجهول, فأن المتغير العشوائي

$T={\frac {{\bar {x}}-\mu }{s}}{\sqrt {n}}$

يقرب من التوزيع الطبيعي المعياري اذا كانت $n\,$ كبيرة بشكل كافي.

ويستخدم التقريب بقاعدة اذا كانت $n>30\,$.

الاحتمالات المحسوبة اذا $X\,$ له توزيع طبيعي بمتوسط$\mu \,$ معلوم و $\sigma ^{2}\,$ اذا كانتا معلومتين .

فأن${\bar {x}}$ تتبع التوزيع الطبيعي, عندئذ يمكن حساب الاحتمالات في الفصل VI .تقرب

الحسابات اذا$X\,$ موزع بشكل عشوائي و $n\,$ كبيرة بشكل كافي. بشكل عام اذا

توزيع $X\,$ غير طبيعي, لكنه معلوم عندئذ سيكون من حيث المبدأ حساب توزيع العينة ${\bar {x}}$

والاحتمالات التي تسقط في مجال معين (بالرغم من امكانية تعقيد النتائج)

القانون الضعيف للأعداد الكبيرة :

$X_{i}\;(i=1,\dots ,n)$ متغيرات عشوائية مستقلة ولها نفس التوزيع بمتوسط $E(X_{i})=\mu \,$

والتباين $Var(X_{i})=\sigma ^{2}\,$. لكل فأن :

يمكن أن تظهر كالتالي:

طبقا لمتباينة تشبيشف فأن :

بعد ادخال

اذا $n\,$ تقترب الى اللانهاية تذهب العبارة الثانية على الجهة اليمنى للصفر.

نتيجة هذا القانون :

مع زيادة $n\,$ ,احتمال متوسط العينة ${\bar {x}}$ سيقترب من توقعه $\mu \,$

أقل من يقترب للواحد.

اذا حجم العينة كبير بشكل كافي سيأخذ متوسط العينة القيم ضمن المجال

باحتمال عالي, بغض النظر عن توزيع $X\,$