تقدير المجال

8.4 تقدير المجال

نتذكر أن المقدر ${\widehat {\vartheta }}$ للعنصر $\vartheta$ هو متغير عشوائي

حتى اذا المقدر له خواص مفضلة (كالثبات والفعالية) لا يستطيع المرء التحديد من تقدير النقطة فقط

فيما اذا هو تقريب جيد للعنصر الحقيقي. لتزويد المعلومات حول دقة اجراء التقدير يطبق المرء عادة

تقدير المجال. ينتج تقدير المجال للعنصر المجهول $\vartheta$ المجال كالتالي:

• احتمال نتائج اجراء التقدير في المجال الذي يحتوي قيمة العنصر الحقيقي $\vartheta$ مساوية للاحتمال المعطى $1-\alpha$ .

يدعى مثل هذا المجال بمجال الثقة والاحتمال المطابق درجة الثقة.

يبنى تقدير المجال على :

• العينة العشوائية من الحجم $n$ مع الاعادة $X_{1},\ldots ,X_{n}$,.

• تحديد قيمتين عشوائيتين

$V_{L}=g_{L}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\mbox{ }}\quad V_{U}=g_{U}(X_{1},\ldots ,X_{n})$

لأجل الحد الأدنى والأعلى للمجال.

اذا هذه التوابع كافية يكون الشرط

$P(V_{L}\leq \vartheta \leq V_{U})=1-\alpha$

عندئذ تنتج المجال $[V_{u};V_{o}]$ لأجل $\vartheta$ مع درجة ثقة $1-\alpha$. ذلك يعني احتمال المجال يحتوي القيمة الحقيقية $\vartheta$ في العينات المكررة يساوي $1-\alpha$.

للعينة المحددة $x_{1},\ldots ,x_{n}$ سنشير لمجال الثقة الفعلي مع الأحرف الصغيرة $[v_{u};v_{o}]$.

بشكل عام $\alpha$ مختارة لذلك درجة الثقة $1-\alpha$ عالية مثال: 0,90, 0,95 أو 0,99.

من الأساسي فهم تعريف مجال الثقة.

قبل سحب العينة حدود مجال الثقة هي متغيرات عشوائية حيث $V_{u}$ و $V_{o}$

توابع المتغيرات العشوائية حينئذ مجال عشوائي $[V_{u};V_{o}]$

$1-\alpha$ احتمال اجراء التقدير ينتج مجالات تحتوي القيمة الحقيقية للعنصر $\vartheta$

بشكل مختلف اذا أعيد تقدير المجال مرات عديدة عندئذ $(1-\alpha )100\%$ من المجالات

ستحتوي $\vartheta$ وبالمقابل $\alpha \cdot 100\%$ من المجالات لا تحوي $\vartheta$

أحيانا سحبت البيانات تستبدل القيم الفعلية $x_{1},\ldots ,x_{n}$ الى $V_{u}$و $V_{o}$ سيقود لمجال الثقة الفعلي $[V_{u};V_{o}]$ الحدود $V_{u}$ و $V_{o}$ هي قيم ثابتة فيما اذا يقع العنصر المجهول $\vartheta$ ضمن مجال التقدير أو لا يقع .

اذا احدى الحدين غير محدد عندئذ نحصل على مجالات الثقة الأحادية الجانب:

• اذا $V_{u}=-\infty$ عندئذ نحصل على مجال الثقة الأدنى $(-\infty ,V_{o}]$ مع $P(\vartheta \leq V_{o})=1-\alpha$.

• اذا $V_{o}=+\infty$ عندئذ نحصل على مجال الثقة الأعلى $[V_{u},+\infty )$ مع $P(V_{u}\leq \vartheta )=1-\alpha$.

على سبيل المثال مجال الثقة الأعلى الأحادي الجانب مهم اذا أردنا بعض الضمانات بأن العنصر لا يتجاوز قيمة معينة.

مجالات الثقة الثنائية الجانب $[V_{u};V_{o}]$ تستخدم عندما كلا الحدين الأعلى والأدنى لعنصر مجهول مهم.

مع مجالات الثقة الثنائية الجانب الفرق $V_{o}-V_{u}$ يشير لطول المجال (أو العرض ). يعتمد

طول المجال عموما على درجة الثقة $1-\alpha$ وعلى حجم العينة $n$.

لما حجم العينة $n$ ثابت أي زيادة في درجة الثقة $1-\alpha$ سيؤدي ذلك لزيادة طول مجال الثقة حينئذ بدقة أعلى.

العنصر المجهول $\vartheta$ سيتوضع ضمن المجال بدقة أقل من موقعه. من جهة أخرى زيادة حجم العينة $n$ بينما درجة الثقة $1-\alpha$ ثابتة, في العموم هو تصغير لمجال الثقة.

توجد طرق مختلفة لبناء مجال الثقة. في العينات المكررة وستحتوي العنصر الحقيقي مع الاحتمال $1-\alpha$ الطريقة الملائمة لتحديد مجال الثقة الثنائي الاتجاه يتطلب أن يحتوي كل طرف احتمال $\alpha /2$تلك الحدود $V_{u}$ و $V_{o}$. مبنية كالتالي:

$P(\vartheta <V_{u})=\alpha /2\quad {\mbox{ }}\quad P(V_{o}<\vartheta )=\alpha /2$

ولذلك

$P(\vartheta <V_{u})+P(V_{o}<\vartheta )=\alpha /2+\alpha /2=\alpha .$

سيتركز نقاشنا لمجالات الثقة على هذه المجالات المتساوية سنرى عندما توزيع العينة للمقدر متناظر ستكون مجالات الثقة الناتجة متناظرة حول القيمة المقدرة.

لتحديد حدود مجال الثقة يستخدم المقدر ${\widehat {\theta }}$ بشكل عام لذلك الخطأ المعياري التقديري له $\sigma ({\widehat {\theta }})$ سيلعب عادة دور مباشر في تحديد عرض مجال الثقة.

بالاضافة تكون مجالات الثقة عادة لها الصيغة:

$\lbrack V_{u},V_{o}]=[{\widehat {\Theta }}-|c_{\alpha /2}|\cdot \sigma ({\widehat {\Theta }})\quad {\widehat {\Theta }}+|c_{1-\alpha /2}|\cdot \sigma ({\widehat {\Theta }})]$

حيث c الصيغة المحددة لتوزيع العينة الى ${\widehat {\theta }}$ وتعتمد على $\alpha$ يعطى مستوى الثقة المطابق بواسطة:

$P(V_{u}\leq \vartheta \leq V_{o})=P({\widehat {\Theta }}-|c_{\alpha /2}|\cdot \sigma ({\widehat {\Theta }})\leq \vartheta \leq {\widehat {\Theta }}+|c_{1-\alpha /2}|\cdot \sigma ({\widehat {\Theta }}))=1-\alpha$