ايجاد حجم العينة

ايجاد حجم العينة,مثال لايجاد حجم العينة ,المثال التفاعلي لايجاد حجم العينة ,مثال أخر لايجاد حجم العينة المطلوبة

8.9 ايجاد حجم العينة

يعتمد طول مجال الثقة عموما على درجة الثقة وحجم العينة $n$ . بزيادة درجة الثقة $1-\alpha$ (يبقى حجم العينة $n$ ثابت ) سينتج مجال ثقة أوسع .

بزيادة حجم العينة $n$ (ونبقي درجة الثقة $1-\alpha$ ثابتة) ينتج مجال ثقة أصغر.

حينئذ بتعديل درجة الثقة وحجم العينة نسيطر على عرض مجال الثقة.

نفرض حتى الأن أن درجة الثقة وحجم العينة معطى , في بعض التطبيقات على أية حال من الضروري ايجاد حجم العينة التي تنتج مجال ثقة عند درجة الثقة $1-\alpha$ .

ستصور المشكلة باستعمال مجالات الثقة للمتوسط $\mu$ والنسبة $\pi$

نفرض العينة مع الاعادة من مجتمع كبير.

مجال الثقة الى $\mu$:

بفرض المجتمع له توزيع طبيعي.

يمكن ايجاد حجم العينة الدقيق اذا طول حجم العينة ليس عشوائيا بمعنى لا يتعلق بالبيانات هذا صحيح اذا تباين المجتمع $\sigma ^{2}$ معلوم يعطى طول مجال الثقة الى $\mu$ بواسطة:

$l=2\cdot e=2\cdot z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

ويعتمد على درجة الثقة $1-\alpha$ وعلى حجم العينة $n$ . اذا أعطي الطول $l$ودرجة الثقة $1-\alpha$ يمكن حل المعادلة فوق لأجل $n$

$n\geq {\frac {4\sigma ^{2}z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}^{2}}{l^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}^{2}}{e^{2}}}$

لدينا العلاقة للحصول على مجال الثقة الذي لا يتجاوز الطول $l$ ودرجة الثقة $1-\alpha$ .

$n$ يجب أن تكون على الأقل بحجم هذا العدد الصحيح .

ملاحظة : اذا التباين $\sigma ^{2}$ مجهول, طول المجال لأجل $\mu$ هو:

$L=2\cdot e=2\cdot t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}$

عشوائي ويعتمد على الانحراف المعياري $s$ الذي هو تابع للعينة. توجد اجراءات تضمن الطول المتوقع لمجال الثقة يساوي قيمة معينة لكنها لن تكون معتبرة هنا.

مجال الثقة الى $\pi$ :

نفرض لدينا عينة كبيرة بشكل كافي ونسبة العينة ${\widehat {\pi }}$ تقرب للتوزيع الطبيعي

يعطى طول مجال الثقة الى $\pi$ بواسطة:

$L=2\cdot z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {{\widehat {\pi }}(1-{\widehat {\pi }})}{n}}}$

بواسطة القيمة المعطاة $l$ ودرجة الثقة $1-\alpha$ نستطيع حل المعادلة فوق لأجل حجم العينة المطلوب لدينا العلاقة التالية :

$n\geq {\frac {4\cdot z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}^{2}{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{L^{2}}}={\frac {\cdot z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}^{2}{\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{E^{2}}}$

على أية حال نلاحظ أن ${\widehat {\pi }}$ عشوائي في هذه الحالة حجم العينة المطلوب سيختلف من عينة لأخرى .

يمكننا الوصول للحد الأدنى لحجم العينة على النحو التالي: نلاحظ أولا أن $\pi (1-\pi )$ هو أعظمي عندما $\pi =0,5$ و $1-\pi =0,5$. هذا هو الوضع المطلوب حجم العينة الأكبر لهذا اذا اخترنا:

$n\geq {\frac {4\cdot z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}{l^{2}}}={\frac {z^{2}}{l}}={\frac {z^{2}}{4e^{2}}}$

عندئذ ستكون الحالة أن : لأجل أخرى نحتاج لضمان حجم العينة كبير بشكل كافي حيث يمكن تطبيق التوزيع الطبيعي.