العلاقة ما بين المتغيرات الاسمية (الجداول التقاطعية)

العلاقة ما بين المتغيرات الاسمية (الجداول التقاطعية),مثال للعلاقة بين المتغيرات الاسمية

10.8 العلاقة ما بين المتغيرات الاسمية (الجداول التقاطعية)

نقطة البداية لتحليل العلاقة ما بين المتغيرين الاسمين $X$ و $Y$ هو التوزيع التكراري المشترك الى $X$ و $Y$ توضع في الجدول التقاطعي الذي يتضمن

التكرارات المطلقة $h_{ij}=h(x_{i},y_{j})\quad (i=1,\ldots ,m;\quad j=1,\ldots ,r)$ أو التكرارات النسبية $f_{ij}=f(x_{i},y_{j})=h(x_{i},y_{j})/n\quad (i=1,\ldots ,m;\quad j=1,\ldots ,r)$

كما رأينا في قسم خواص التوزيعات الثنائية البعد التكرار النسبي للقيم الفعلية المشتركة $x_{i}$ و $y_{i}$ $(i=1,\dots ,m;\quad j=1,\dots ,r)$.

في حالة الاستقلال مساوية لجداء التكرارات النسبية للتوزيع الهامشي لكلا المتغيرين

$f_{ij}=f_{i\bullet }f_{\bullet j}\quad {\mbox{and}}\quad h_{ij}={\frac {h_{i\bullet }h_{\bullet j}}{n}}=nf_{i\bullet }f_{\bullet j}$

نحسب الأن معامل التقاطع التربيعي ويعطى بواسطة :

$\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{m}\limits \sum _{j=1}^{r}\limits {\frac {\left(h_{ij}-{\frac {1}{n}}h_{i\bullet }h_{\bullet j}\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}h_{i\bullet }h_{\bullet j}}}=n\sum _{i=1}^{m}\limits \sum _{j=1}^{r}\limits {\frac {(f_{ij}-f_{i\bullet }f_{\bullet j})^{2}}{f_{i\bullet }f_{\bullet j}}}$

يبين بسط الكسر فوق الانحرافات المربعة للتكرارات المطلقة (النسبية) المشاهدة عن التكرارات المطلقة (النسبية) المتوقعة (اذا المتغيرات مستقلة) بالتقسيم بواسطة التكرارات المطلقة (النسبية) المتوقعة اذا المتغيرات مستقلة.

نستعمل معامل التقاطع التربيعي لحساب المعامل التقاطعي كالتالي:

$C={\sqrt {\frac {\chi ^{2}}{n+\chi ^{2}}}}$

يزود معامل التقاطع التربيعي كقياس لقوة العلاقة ما بين المتغيرات الاسمية حيث

$0\leq C\leq {\sqrt {\frac {C^{*}-1}{C^{*}}}};\quad C^{*}=min(m,r)$.

اذا معامل التقاطع يساوي 0 عندئذ لدينا الاستقلال الاحصائي. معامل التقاطع لا يصل دائما للواحد حتى عندما توجد علاقة تامة ما بين كلا المتغيرين لأن حجم العينة n دائما أكبر من الصفر ولذلك المقام دائما أكبر من البسط.

لحل هذه المشكلة ولنكون قادرين لنصل للقيمة 1 في حالة العلاقة التامة نستعمل غالبا معامل التقاطع التربيعي المصحح ويحسب كالتالي:

$C_{korr}=C\cdot {\sqrt {\frac {C^{*}}{C^{*}-1}}}\quad O\leq C_{korr}\leq 1$

مثال:

نريد تحليل اذا توجد علاقة ما بين التدخين وسرطان الرئة نستعمل الجدول التقاطعي التالي:

	سرطان الرئة نعم ($y_{1}$)	سرطان الرئة لا ($y_{2}$)	التوزيع الهامشي $X$
مدخن نعم ($x_{1}$)	10	15	25 $(h_{1\cdot })$
مدخن لا ($x_{2}$)	5	70	75 $(h_{2}\cdot )$
التوزيع الهامشي $Y$	15 $(h_{\cdot 1)}$	85 $(h_{\cdot 2})$	100 $(n)$

$\chi ^{2}={\frac {\left(10-{\frac {15\cdot (25)}{100}}\right)^{2}}{\frac {15\cdot (25)}{100}}}+{\frac {\left(15-{\frac {85\cdot (25)}{100}}\right)^{2}}{\frac {85\cdot (25)}{100}}}+{\frac {\left(5-{\frac {15\cdot (75)}{100}}\right)^{2}}{\frac {15\cdot (75)}{100}}}+{\frac {\left(70-{\frac {85\cdot (75)}{100}}\right)^{2}}{\frac {85\cdot (75)}{100}}}=16,34$

$C={\sqrt {\frac {16,34}{100+16,34}}}=0,375$

$C_{korr}=0,375\cdot {\sqrt {\frac {2}{2-1}}}=0,53$

معامل التقاطع التربيعي المصحح هو 0,53 ويشير لعلاقة ما بين التدخين وسرطان الرئة .