العلاقة بين المتغيرات المنقطعة (ارتباط الرتب)

العلاقة بين المتغيرات المنقطعة (ارتباط الرتب),مثال للعلاقة بين المتغيرين الترتيبين

10.7العلاقة بين المتغيرات المستمرة (الارتباط , معاملات الارتباط)

معامل ارتباط الرتب سبيرمان

نقطة البداية لقياس العلاقة بين المتغيرين المنقطعين أو الرتبيين X و Y هي الرتب:

$R(x_{i}),R(y_{i}),\quad i=1,\ldots ,n$,

والمصممة للمشاهدات $x_{i}$ و $y_{j}$ طبقا لرتبهم.

تعرف الرتب $R{x_{i}}$ مساوية الى 1 لأجل $x_{i}$ التي تأخذ القيمة الأكبر المشاهدة ومساوية الى 2 لأجل $x_{i}$ التي تأخذ القيمة الأكبر الثانية المشاهدة وهكذا.

يحسب معامل الارتباط الرتب سبيرمان من أزواج الرتب كالتالي:

$r_{s}=1-{\frac {6\sum _{i=1}^{n}\limits [R(x_{i})-R(y_{i})]^{2}}{n(n^{2}-1)}}=1-{\frac {6\sum _{i=1}^{n}\limits d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}},\quad d_{i}=R(x_{i})-R(y_{i})$

معامل ارتباط الرتب سبيرمان ليطبق الى معامل الارتباط بيرسون ذلك صحيح أن:

$\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}\limits R(y_{i})={\frac {n(n+1)}{2}}$

$\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\limits R(y_{i})^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})R(y_{i})={\frac {1}{2}}\left[\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})^{2}+\sum _{i=1}^{n}\limits R(y_{i})^{2}-\sum _{i=1}^{n}\limits (R(x_{i})-R(y_{i}))^{2}\right]$

يحسب معامل الارتباط بيرسون كالتالي:

$r_{yx}={\frac {n\sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}y_{i}-\sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}\sum _{i=1}^{n}\limits y_{i}}{\sqrt {\left[n\sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}\right)^{2}\right]\left[n\sum _{i=1}^{n}\limits y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}\limits y_{i}\right)^{2}\right]}}}$

اذا استعملنا الرتب المطابقة $R(x_{i})$ و $R(y_{i})$ بدلا من المشاهدات $x_{i}$ و $y_{i}$ عندئذ نشتق معامل ارتباط الرتب سبيرمان:

${\frac {n\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})R(y_{i})-\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})\sum _{i=1}^{n}\limits R(y_{i})}{\sqrt {\left[n\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}\limits R(x_{i})\right)^{2}\right]\left[n\sum _{i=1}^{n}\limits R(y_{i})^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}\limits R(y_{i})\right)^{2}\right]}}}$

$={\frac {n\cdot {\frac {1}{2}}\cdot 2{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-n\cdot {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\limits [R(x_{i})-R(y_{i})]^{2}-{\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}}{n\cdot {\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-{\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}}}$

$=1-{\frac {6\sum _{i=1}^{n}\limits [R(x_{i})-R(y_{i})]^{2}}{n(n+1)(n-1)}}$

خواص معامل ارتباط الرتب سبيرمان:

• يأخذ معامل ارتباط الرتب سبيرمان القيم بين -1 و +1

$-1\leq r_{s}\leq 1$.

• يأخذ معامل ارتباط الرتب سبيرمان القيمة 1 اذا الرتب تتصرف بنفس الطريقة:

$\,R(x_{i})=R(y_{i})$ لأجل $i$.

• يأخذ معامل ارتباط الرتب سبيرمان القيمة -1 اذا الرتب متعارضة مع بعضها البعض :

$\,R(x_{i})=n+1-R(y_{i})$ لأجل $i$.

مثال:

$X$- الرتبة للرياضي عند تزلج المنحدرات

$Y$- الرتبة للرياضي عند التعرج

هل توجد علاقة مابين الرتب في كلا النظامين

الرياضي $i$	1	2	3	4	5	6
المنحدر $X$	2	1	3	4	5	6
التزلج $Y$	2	3	1	5	4	6
${d_{i}}^{2}$	0	4	4	1	1	0

$r=1-{\frac {6\cdot 10}{6(36-1)}}=0,7143$

يشير معامل الرتب لعلاقة قوية بين الرتب في كلا النظامين.

معامل ارتباط الرتب كندال

يبنى معامل ارتباط الرتب كندال على مقارنة ترتيب العلاقة لكل الأزواج الممكنة للمشاهدات

لمتغيرين التطابق لأزواج المتغيرات التي تظهر نفس اتجاه العلاقة بمعنى تبين لكلا المتغيرين قيمة عالية

أو منخفضة. عدم التطابق للأزواج تظهر اتجاه علاقة مختلفة ذلك يعني تظهر في واحد من المتغيرات

قيمة منخفضة والمتغير الأخر قيمة عالية على أية حال

عدد الأزواج المتطابقة $p$ و الأزواج غير المتطابقة $Q$ تحسب كالتالي:

أزواج المتغيرات $R(x_{i})$ و $R(y_{i})$ مصنفة في ترتيب متزايد الى $R(x_{i})$

ندعو $p_{i}$ بعدد الرتب المتلاحقة الى $R(y_{i})$ وهي أكبر من $R(y_{i})$

ندعو $q_{i}$ بعدد الرتب المتلاحقة الى $R(y_{i})$ وأصغر من $R(y_{i})$

باستعمال عدد أزواج المتغيرات المتطابقة وغير المتطابقة نحسب معامل ارتباط الرتب كندال

$\tau ={\frac {P-Q}{P+Q}}$,

مع $Q=\sum _{i}q_{i}$ و $P=\sum _{i}p_{i}$.

يعطى العدد الاجمالي لكل الرتب بواسطة:

$n(n-1)/2=Q+P$.

يأخذ معامل الارتباط فقط القيم بين -1 و +1

$-1\leq \tau \leq 1$

طريقة أخرى لحساب معامل ارتباط الرتب كندال تعطى بواسطة

$\tau =1-{\frac {4Q}{n(n-1)}}={\frac {4P}{n(n-1)}}-1$

مثال:

يتم ترتيب عشر موظفين طبقا لقدراتهم الادارية X وأداء عملهم Y لترتيب العلاقة حول الارتباط ما بين المتغيرين نحسب كلاهما معاملا ارتباط الرتب سبيرمان وكندال

الموظف $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$R(X)$	7	3	9	10	1	5	4	6	2	8
$R(Y)$	3	9	10	8	7	1	5	4	2	6
${d_{i}}^{2}$	16	36	1	4	36	16	1	4	0	4

معامل ارتباط الرتب سبيرمان:

$r_{s}=1-{\frac {6\sum _{i=1}^{n}\limits d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}$

$r_{s}=1-6\cdot 118/(10\cdot 99)=0,2848$

معامل ارتباط الرتب كندال

الموظف $i$	5	9	2	7	6	8	1	10	3	4
$R(X)$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$R(Y)$	7	2	9	5	1	4	3	6	10	8
$q$	6	1	6	3	0	1	0	0	1	0
$p$	3	7	1	3	5	3	3	2	0	0

$Q=18,\quad P=27$

$Q+P=n(n-1)/2=10\cdot 9/2=45$

$\tau =(27-18)/(27+18)=9/45=0,200$