العلاقة بين المتغيرات المستمرة (الارتباط , معاملات الارتباط)

العلاقة بين المتغيرات المستمرة (الارتباط , معاملات الارتباط),مثال للعلاقة بين المتغيرين العددين

10.6العلاقة بين المتغيرات المستمرة (الارتباط , معاملات الارتباط)

يحدد التباين المشترك للمتغيرين المستمرين $X$ و $Y$ قوة العلاقة ما بين المتغيرين.

في الخطوة الأولى: نطرح المشاهدات للوسط الحسابي

${x_{i}^{*}}=x_{i}-{\bar {x}}$

${y_{i}^{*}}=y_{i}-{\bar {y}}$

التباين المشترك لكلا المتغيرين هو جداء الانحرافات للمشاهدات عن أوساطهم الحسابية.

$\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{*}}{y_{i}^{*}}=\sum _{k=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})$

اذا الوسط الحسابي لواحد من هذه المتغيرات 8 والقيمة المشاهدة 10 وقيمة الوسط الحسابي لمتغير أخر هو 1,008 والقيمة المشاهدة 1,260

بالرغم من انحراف القيمة الأولى هو 2 وانحراف القيمة الثانية 252 .

الانحراف النسبي لقيمة الوسط الحسابي لكلا الحالتين هو 25% في العموم لن يشاهد هذا اذا حسبنا ببساطة التباين المشترك لهذه المشاهدة 504.

لذلك للحصول على الانحرافات المشابهة للمتغيرات نختبر الشرط المعياري $(x_{i}-{\bar {x}})/s_{x}$ و $(y_{i}-{\bar {y}})/s_{y}$.

الأن نغير المعادلة فوق الى:

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-{\bar {x}})}{s_{x}}}{\frac {(y_{i}-{\bar {y}})}{s_{y}}}$

نقسم بعد ذلك مجموع الجداء بواسطة عدد المشاهدات لاستبعاد تأثيرها. الأن نحصل على معامل الارتباط البسيط بيرسون الذي يقيس قوة العلاقة الخطية ما بين المتغيرين المستمرين $X$ و $Y$ ويعطى بواسطة :

$r_{yx}=r_{xy}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\limits (x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{n\cdot s_{x}\cdot s_{y}}}={\frac {s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}}$

تظهر الأجزاء النهائية للمعادلة فوق أن معامل الارتباط بيرسون يساوي للتباين المشترك لكلا المتغيرين $X$ و $Y$ مقسما على جداء الانحرافات المعيارية لكل متغير.

يمكن كتابة معامل الارتباط بيرسون بشكل أخر:

$r_{yx}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\limits (x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\limits (x_{i}-{\bar {x}})^{2}\sum _{i=1}^{n}\limits (y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}$

$r_{yx}={\frac {n\sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}y_{i}-\sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}\sum _{i=1}^{n}\limits y_{i}}{\sqrt {\left[n\sum _{i=1}^{n}\limits {x_{i}}^{2}-{\left(\sum _{i=1}^{n}\limits x_{i}\right)}^{2}\right]\left[n\sum _{i=1}^{n}\limits {y_{i}}^{2}-{\left(\sum _{i=1}^{n}\limits y_{i}\right)}^{2}\right]}}}$

خواص معامل الارتباط:

• يأخذ معامل الارتباط فقط القيم ما بين -1و + 1

$-1\leq r_{xy}\leq +1$

• تخبرنا اشارة معامل الارتباط عن اتجاه العلاقة الخطية:

"+" تطابق للارتباط الموجب.

"-" تطابق للارتباط السالب.

• اذا كل المشاهدات تقع بالضبط على خط مستقيم يكون معامل الارتباط مساوي للواحد.

• اذا المتغيرين $X$ و $Y$ مستقلين عندئذ معامل الارتباط مساوي للصفر.

من جهة أخرى : اذا معامل الارتباط مساوي للصفر يعني بأنه لا وجود لعلاقة خطية ما بين المتغيرين $X$ و $Y$ (الاستقلال الخطي).

لكنه من الممكن جدا وجود علاقة غير خطية ما بين المتغيرين.

• معامل الارتباط متناظر: $r_{xy}=r_{yx}$

علاقة الارتباط والشكل البياني للمتغيرين $X$ و $Y$

الارتباط التام:

معامل الارتباط = |1|

الارتباط القوي: معامل الارتباط $>|0,5|$

الارتباط الضعيف: معامل الارتباط $<|0,5|$

لا ارتباط معامل الارتباط = 0.

مثال:

لدينا 15 شركة نشاهد المتغيرات :

$Y$الربح السنوي مليون يورو و $X$ : الايجار السنوي لتشغيل الكمبيوتر (بالألف يورو).

يمكن مشاهدة قيم متغيراتهم في الجدول التالي ونلخصهم بيانيا في الشكل البياني التالي:

الشركة	الربح السنوي	الايجار السنوي
$i$	$y_{i}$	$x_{i}$
1	10	30
2	15	30
3	15	100
4	20	50
5	20	100
6	25	80
7	30	50
8	30	100
9	30	250
10	35	180
11	35	330
12	40	200
13	45	400
14	50	500
15	50	600

من المشاهدات نحصل على النتائج التالية :

${\overline {y}}=30(Mio.DM)$,	$\sum _{i=1}^{15}\limits (y_{i}-{\overline {y}})^{2}=2250$
${\overline {x}}=200(1000DM)$,	$\sum _{i=1}^{15}\limits (x_{i}-{\overline {x}})^{2}=457000$

$\sum _{i=1}^{15}\limits (x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})=28100$

$r_{xy}={\frac {28100}{\sqrt {(457000)\cdot (2250)}}}=0,8763$

معامل الارتباط البسيط في هذا المثال هو 0,8763 ويشير هذا لعلاقة خطية موجبة قوية .</R>