Exponentialverteilung

Grundbegriffe

Exponentialverteilung

Eine stetige Zufallsvariable $X$ heißt exponentialverteilt mit dem Parameter $\lambda >0$, wenn ihre Dichtefunktion gegeben ist durch:

$f_{EX}(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda \cdot e^{-\lambda x}&{\mbox{, wenn }}x\geq 0,\quad \lambda >0\\0&{\mbox{, wenn }}x<0\end{cases}}$

In Kurzform schreibt man: $X\sim EX(\lambda )\,$.

Für die Verteilungsfunktion folgt:

$F_{EX}(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\mbox{, wenn }}x\geq 0\\0&{\mbox{, wenn }}x<0\end{cases}}$

Erwartungswert und Varianz einer exponentialverteilten Zufallsvariable:

$E[X]={\frac {1}{\lambda }}\quad Var(X)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$

Je größer der Parameter $\lambda$ ist, desto schneller geht die Dichtefunktion der Exponentialverteilung für $x\rightarrow \infty$ gegen Null und die Verteilungsfunktion gegen Eins.

Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung

An die Exponentialverteilung ist die folgende Bedingung geknüpft:

$P(X\leq t+s|X\geq t)=P(X\leq s)$.

Die inhaltliche Bedeutung dieser Bedingung lässt sich am leichtesten erklären, wenn $X\,$ die Lebensdauer beinhaltet.

Dann besagt die Bedingung, dass für jeden Zeitpunkt $t$ die weitere Lebensdauer nicht von der bereits bis $t$ verstrichenen Lebensdauer abhängt.

Dies wird auch als Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung bezeichnet.

Im praktischen Fall der Betrachtung der Lebensdauer eines Systems bedeutet dies, dass das System nicht altert und die Ausfallwahrscheinlichkeit unabhängig von Alter gleich groß ist.

Zusatzinformationen

Herleitung der Exponentialverteilung

Zwischen der Exponentialverteilung und der Poisson-Verteilung besteht ein enger Zusammenhang.

Die Poisson-Verteilung wurde zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Anzahl von Ereignissen in einem festen Intervall bei Gültigkeit der Voraussetzungen eines Poisson-Prozesses verwendet, d.h. die zugrundeliegende Zufallsvariable $Y$ ist als Anzahl des Eintretens eines bestimmten Ereignisses in einem Kontinuum fester Länge mit der Intensität $\lambda$ definiert.

Fragt man stattdessen, welches Intervall verstreicht, bis nach der Beobachtung eines Ereignisses das nächste auftritt, so bietet sich als Lösung die Exponentialverteilung an.

Die Exponentialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit des Abstandes zweier aufeinanderfolgender, Poisson-verteilter Ereignisse an.

Die Zufallsvariable $X\,$ bezeichnet somit das Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen und ist eine stetige Zufallsvariable.

Die Wahrscheinlichkeit, dass $X\,$ höchstens den Wert $x$ annimmt, berechnet sich als

$P(X\leq x)=1-P$ (kein Ereignis im Intervall der Länge $x$).

$P({\mbox{kein Ereignis im Intervall der Länge}}\ x)$ ist aber gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die Poisson-verteilte Zufallsvariable $Y$ den Wert Null in dem Intervall der Länge $x$ annimmt:

$P(Y=0)$, so dass

$f_{PO}(y;\lambda \cdot x)={\frac {(\lambda \cdot x)^{y}}{y!}}e^{-\lambda \cdot x}$

$P(Y=0)=f_{PO}(0;\lambda \cdot x)={\frac {(\lambda \cdot x)^{0}}{0!}}e^{-\lambda \cdot x}=e^{-\lambda \cdot x}$

ist. Damit gilt:

$P(X\leq x)=1-e^{-\lambda \cdot x}$

Dies ist jedoch die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung, d.h. $X\,$ ist exponentialverteilt.

Graphische Darstellung der Exponentialverteilung

Die grafische Darstellung einer exponentialverteilten Zufallsvariablen erfolgt in Form einer Dichtefunktion, da es sich hier um eine stetige Zufallsvariable $X\,$ handelt.

Beispiele

Verwendung der Exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung wird häufig verwendet, um die Dauer von kontinuierlichen Vorgängen bzw. Wartezeiten zu modellieren, z.B.

• Wartezeit bis zur Bedienung in einem Restaurant, einer Tankstelle oder Bank;
• Wartezeit bis zum Ausfall einer Komponente eines technischen Systems,
• Servicezeit (Rechenzeit eines Jobs, Beladezeit eines LKW, Reparaturdauer),
• Lebensdauer (von Verschleißteilen, Personen),
• Dauer von Telefongesprächen,
• Zeit bis zur nächsten Schadensmeldung bei einer Sachversicherung.

Maschine

Veranschaulichung des engen Zusammenhangs von Exponentialverteilung und Poisson-Verteilung:

Die Poisson-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl $Y$ der Vorkommnisse eines bestimmten Phänomens in einem Kontinuum fester Länge mit der Intensität $\lambda$ an.

Ein Beispiel zur Veranschaulichung der Poisson-Verteilung sei eine Maschine, bei der durchschnittlich 2 Defekte pro Woche auftreten.

Es ist: $t=$Anzahl der Intervalle fester Länge = Anzahl der Wochen

(a) Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Woche kein Defekt auftritt, beträgt:

$Y_{1}$: "Anzahl der Defekte pro Woche" mit $t=1$.

$E[Y_{1}]=\lambda =2\qquad Y_{1}\sim PO(2)$

$f_{PO}(y_{1};\lambda )={\frac {(\lambda \cdot t)^{y_{1}}}{y_{1}!}}e^{-\lambda \cdot x}={\frac {(2\cdot 1)^{0}}{0!}}e^{-2\cdot 1}=e^{-2}=0,1353$

(b) Die Wahrscheinlichkeit, dass in zwei Wochen kein Defekt auftritt, beträgt:

$Y_{2}$: "Anzahl der Defekte in zwei Wochen" mit $t=2$

$E[Y_{2}]=\lambda \cdot t=2\cdot 2\qquad Y_{2}\sim PO(4)$

$P(Y_{2}=0)$	$={\frac {4^{0}}{0!}}e^{-4}=e^{-4}=0,0183$
	$={\frac {(2\cdot 2)^{0}}{0!}}e^{-2\cdot 2}=e^{-4}$

$P(Y_{2}=0)={\frac {(2\cdot 2)^{0}}{0!}}e^{-2\cdot 2}={\frac {4^{0}}{0!}}e^{-4}=e^{-4}=0.0183$

Allgemein folgt:

Die Wahrscheinlichkeit, dass in $t$ Wochen kein Defekt auftritt, ist:

$Y$: "Anzahl der Defekte in $t$ Wochen".

$E[Y]=\lambda \cdot t\qquad Y\sim PO(\lambda \cdot t)$

$P(Y=0)={\frac {(\lambda \cdot t)^{0}}{0!}}e^{-\lambda \cdot t}=e^{-\lambda \cdot t}$

Nun interessiert jedoch die Frage nach der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Wartezeit bis zum Auftreten des nächsten Defektes, z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit bis zum nächsten Defekt mehr als 2 Wochen beträgt.

$X$: "Wartezeit bis zum nächsten Defekt"

Zur Berechnung von $P(X>2)$ ist die Exponentialverteilung zu verwenden:

$P(X>2)=1-P(X\leq 2)=1-F_{EX}(x;\lambda )=1-(1-e^{-\lambda \cdot x})=e^{-\lambda \cdot x}=e^{-2\cdot 2}=0,0183$

Wie ersichtlich ist dieses Ergebnis identisch mit der Wahrscheinlichkeit $P(Y_{2}=0)$ für die Poisson-verteilte Zufallsvariable $Y_{2}$, dass in zwei Wochen kein Defekt auftritt.

Elektronisches Bauteil

Bei einem elektronischen Bauteil kann man 48 Ausfälle pro Tag (= 24 Stunden) erwarten.

Die Ausfälle erfolgen kurzfristig, rein zufällig und unabhängig voneinander.

Die im Mittel pro Stunde zu erwartende Anzahl von Ausfällen AC ist $\lambda ={\frac {48}{24}}=2$.

Die Zufallsvariable $T$ ist als die Zeit zwischen 2 Ausfällen definiert, somit eine stetige Zufallsvariable und exponentialverteilt: $T\sim EX(2)\,$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Ausfall mehr als zwei Stunden vergehen, berechnet sich folgendermaßen:

$P(T>2)=1-F_{EX}(2)=1-(1-e^{-2\cdot 2})=e^{-4}=0,01832$

Nun wird angenommen, dass ein elektronisches System aus zwei solcher Bauteile besteht, welche unabhängig voneinander funktionieren.

Das System fällt aus, sobald ein Bauteil nicht mehr funktioniert

$T_{1}={\mbox{'Zeit zwischen 2 Ausfällen für 1. Bauteil'}}$

$T_{2}={\mbox{'Zeit zwischen 2 Ausfällen für 2. Bauteil'}}$

$T_{1}\sim EX(2)\,$ und $T_{2}\sim EX(2)\,$

Da das System nur bei Funktionsfähigkeit beider Bauteile arbeitet, müssen beide mehr als 2 Stunden funktionieren:

$\,P({\mbox{Das System funktioniert mehr als 2 Stunden}})$

$=P\left(\left({\mbox{1. Bauteil funktioniert mehr als 2 Stunden}}\right)\cap P\left({\mbox{2. Bauteil funktioniert mehr als 2 Stunden}}\right)\right)$

$=P({\mbox{1. Bauteil funktioniert mehr als 2 Stunden}})\cdot P({\mbox{2. Bauteil funktioniert mehr als 2 Stunden}})$

$=P(T_{1}\geq 2)\cdot P(T_{2}\geq 2)=(0,01832)^{2}=0,000336$

Es wurde der Multiplikationssatzes für unabhängige Ereignisse angewandt, da die beiden Bauteile im System unabhängig voneinander funktionieren.