Testtheorie/Lösungen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Kategorie:Aufgaben]]
===1000g–Portionen===
===1000g–Portionen===


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<math>X</math>: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,<math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde<br />
<math>X</math>: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,<math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde<br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=64</math>”<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=64>30</math>);<br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=64</math>”<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=64>30</math>);<br />
<math>\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1</math> <math>\begin{aligned}
<math>\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1</math> <math>\begin{align}
     \beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\
     \beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\
     G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\
     G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\
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     &=&0,831472-[1-0,998462]\\
     &=&0,831472-[1-0,998462]\\
     &=&0,831472-0,001538=0,829934\\
     &=&0,831472-0,001538=0,829934\\
     \beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{aligned}</math>
     \beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{align}</math>


===Ausfallsicherheit===
===Ausfallsicherheit===
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|}
|}


<math>\begin{aligned}
<math>\begin{align}
\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\
\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\
p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\  
p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\  
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       &=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\
       &=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\
   p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\
   p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\
       & =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{aligned}</math>
       & =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{align}</math>


Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br />
Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br />
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Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br />
Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br />
Prüfwert: <math>\begin{aligned}
Prüfwert: <math>\begin{align}
     v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\
     v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\
     &=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\
     &=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\
     &=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\
     &=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\
     &=&1300/120=10,83\approx10,8\end{aligned}</math>
     &=&1300/120=10,83\approx10,8\end{align}</math>


===FKK===
===FKK===
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<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{align}
     0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\
     0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\
         &= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq  
         &= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq  
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     \\
     \\
     1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50}
     1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50}
\end{aligned}
\end{align}
</math>
</math>


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* es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.
* es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.


<math>\begin{aligned}
<math>\begin{align}
G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\
G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\
&=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\
&=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\
&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{aligned}</math>
&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{align}</math>


===Kaffee Packungen 2===
===Kaffee Packungen 2===
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Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br />
Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br />
Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{aligned}
Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{align}
     G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\
     G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\
     &=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\
     &=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\
     &=& 1-\beta=0,64058\end{aligned}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math>
     &=& 1-\beta=0,64058\end{align}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math>


===Kaffee Packungen===
===Kaffee Packungen===
Zeile 409: Zeile 410:
<li><p>
<li><p>
<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{align}
\beta & =  1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\
\beta & =  1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\
       & =  P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\
       & =  P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\
       & =  P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\
       & =  P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\
       & =  P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\
       & =  P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\
       & =  P(V\leq1,5)=0,933193\end{aligned}
       & =  P(V\leq1,5)=0,933193\end{align}
</math>
</math>
</p>
</p>
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<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{align}
G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\
G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\
           & = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\
           & = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\
           & = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{aligned}</math></p>
           & = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{align}</math></p>
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist.  
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist.  


<math>\begin{aligned}
<math>\begin{align}
G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\
G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\
           & = 1-0,841345=0,158655\\
           & = 1-0,841345=0,158655\\
           & = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502)
           & = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502)
\end{aligned}
\end{align}
</math>  
</math>  


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<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n</math>, <math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n</math>, <math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br />
<math>H_0:\mu\geq165</math>;<math>H_1:\mu<165</math><br />
<math>H_0:\mu\geq165</math>;<math>H_1:\mu<165</math><br />
asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math> <math>\begin{aligned}
asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math>  
     0,05&=&P(V\leq c|H_0)=P\Bigg{(}\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg{)}=\Phi\Big{(}\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big{)}\\
 
     0,95&=&1-\Phi\Big{(}\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big{)}=\Phi\Big{(}-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big{)}\\
<math>\begin{align}
     1,64&=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}\end{aligned}</math> <math>\rightarrow c=165-1,64=163,36</math>
     0,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\
     0,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\
     1,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}
\end{align}
</math>  
 
<math>\rightarrow c=165-1,64=163,36</math>


===Wetterlage und Geschäftslage===
===Wetterlage und Geschäftslage===
Zeile 1.078: Zeile 1.085:
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, <math>\sigma=20</math> EUR;<br />
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, <math>\sigma=20</math> EUR;<br />
<math>\overline{X}</math>:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, <math>\overline{X}</math> ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=100>30)</math> <math>N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> mit <math>\sigma/\sqrt{n}=20/10=2</math><br />
<math>\overline{X}</math>:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, <math>\overline{X}</math> ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=100>30)</math> <math>N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> mit <math>\sigma/\sqrt{n}=20/10=2</math><br />
<math>\mu_0=400</math>, <math>\alpha=0,050503</math>, <math>z_{0,949497}=1,64</math>, <math>\mu_1=406</math>, <math>H_0:\mu\leq400\hspace{1cm}H_1:\mu>400</math> <math>G(\mu_1)=1-P\mbox{\huge{(}}V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\mbox{\huge{)}}</math> <math>G(\mu_1=406)=1-P(V\leq1,64-(406-400)/2)=1-P(V\leq-1,36)=1-(1-P(V\leq1,36))=P(V\leq1,36)=0,913085</math>, <math>\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087</math><br />
<math>\mu_0=400</math>, <math>\alpha=0,050503</math>, <math>z_{0,949497}=1,64</math>, <math>\mu_1=406</math>, <math>H_0:\mu\leq400\quad H_1:\mu>400</math>  
 
<math>G(\mu_1)=1-P\big(V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\big)</math>  
 
<math>
\begin{align}
G(\mu_1=406) &= 1-P(V\leq1,64-(406-400)/2) \\
            &= 1-P(V\leq-1,36) \\
            &= 1-(1-P(V\leq1,36)) \\
            &= P(V\leq1,36) \\
            &= 0,913085
\end{align}
</math>,  
 
<math>\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087</math><br />
 
===Zigarettenpreis===
===Zigarettenpreis===


Zeile 1.099: Zeile 1.121:
<math>n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}</math><br />
<math>n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}</math><br />
<math>\mu_0=15</math>; <math>\mu=14,8</math>; <math>\sigma=0,4964</math>; <math>\alpha=0,07927</math>; <math>c_{0,92073}=1,41</math>; <math>\beta=1-G(\mu)</math><br />
<math>\mu_0=15</math>; <math>\mu=14,8</math>; <math>\sigma=0,4964</math>; <math>\alpha=0,07927</math>; <math>c_{0,92073}=1,41</math>; <math>\beta=1-G(\mu)</math><br />
<math>\begin{aligned}
 
G(\mu) & = & P\mbox{\Big{(}}V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\mbox{\Big{)}}\\
<math>
G(14,8) & = & P\mbox{\Big{(}}V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49}\mbox{\Big{)}}\\
\begin{align}
& = & P(V\leq-1,41+2,82)\\
G(\mu)   &= P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\
& = & P(V\leq1,41)\\
G(14,8) &= P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\
& = & 0,92073\\
        &= P(V\leq-1,41+2,82)\\
\beta & = &1-0,92073=0,07927\end{aligned}</math>
        &= P(V\leq1,41)\\
        &= 0,92073\\
\beta   &= 1-0,92073=0,07927\end{align}</math>

Aktuelle Version vom 15. Juli 2020, 14:14 Uhr

1000g–Portionen





d.h. ist das Quantil der

Anzahl der Kinder

Unter gilt:





– beobachtete absolute Häufigkeit – unter erwartete absolute Häufigkeit
für alle und für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.


16 25 81 3,24
60 75 225 3,00
92 75 17 289 3,853333
32 25 7 49 1,96

(kein Parameter war zu schätzen)
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für :

signifikant zum 1%–Niveau

Arbeitsproduktivität

: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt, Stück/Stunde
: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang ist approximativ (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, );

Ausfallsicherheit


Betriebszeit eines Servers:
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von Stunden
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert
Stunden Stunden
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art ist das Signifikanzniveau , mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter einer t–Verteilung mit Freiheitsgraden. Kritischer Wert: Da ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von fällt, besteht keine Veranlassung abzulehnen.

Ausgaben für Urlaubsreisen

Auswahlsatz Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden; der Grundgesamtheit unbekannt;;
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben:
Teststatistik:Wert der Teststatistik für die Stichprobe:

Batterien Lebensdauer

  • –Anpassungstest
  • : Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt

: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt

  • X: Lebensdauer einer Batterie ist unter –verteilt mit Freiheitsgraden, wenn für alle gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)
Klassen
1 -300 10 160 1600 0.16 16
2 300-340 10 320 3200 0.12 12
3 340-460 60 400 24000 0.45 45
4 460- 20 560 11200 0.27 27
100 40000
Klassen
1 -300 -6 36 2.25
2 300-340 -2 4 0.33
3 340-460 15 225 5.00
4 460 -7 49 1.82