Testtheorie/Lösungen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Kategorie:Aufgaben]]
===1000g–Portionen===
===1000g–Portionen===


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<math>X</math>: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,<math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde<br />
<math>X</math>: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,<math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde<br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=64</math>”<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=64>30</math>);<br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=64</math>”<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=64>30</math>);<br />
<math>\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1</math> <math>\begin{aligned}
<math>\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1</math> <math>\begin{align}
     \beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\
     \beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\
     G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\
     G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\
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     &=&0,831472-[1-0,998462]\\
     &=&0,831472-[1-0,998462]\\
     &=&0,831472-0,001538=0,829934\\
     &=&0,831472-0,001538=0,829934\\
     \beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{aligned}</math>
     \beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{align}</math>


===Ausfallsicherheit===
===Ausfallsicherheit===
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| align="right" | 0.27
| align="right" | 0.27
| align="right" | 27
| align="right" | 27
|-
|
|100
|
|40000
|
|
|}
|}


{|class="wikitable"
{|class="wikitable"
! <math> </math>
! <math> i </math>
! Klassen
! Klassen
! <math> h_i - np_i </math>
! <math> h_i - np_i </math>
! <math> (h_i - np_i)^2 </math>
! <math> (h_i - np_i)^2 </math>
! <math> \frac{(h_i - np_i)^2}{np_i} </math>
! <math> \frac{(h_i - np_i)^2}{np_i} </math>
|-
| 1
| align="right" | -300
| -6
| 36
| 2.25
|-
| 2
| align="center" | 300-340
| -2
| 4
| 0.33
|-
| 3
| align="center" | 340-460
| 15
| 225
| 5.00
|-
| 4
| align="left" | 460
| -7
| 49
| 1.82
|-
|
|
|
| <math> v=9.40 </math>
|
|}
|}


 
<math>\begin{align}
<span>|r|LR|r|r|r|</span> i &amp;&amp;<math>h_i-np_i</math>&amp;<math>(h_i-np_i)^2</math>&amp; <math>\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math><br />
1 &amp; &amp; 300 &amp; -6 &amp; 36 &amp; 2,25<br />
2 &amp; 300 &amp; 340 &amp;-2 &amp; 4 &amp; 0,33<br />
3 &amp; 340 &amp; 460 &amp;15 &amp; 225 &amp; 5,00<br />
4 &amp; 460 &amp; &amp; -7 &amp; 49 &amp; 1,82<br />
&amp;&amp; &amp; &amp; <math>v=9,40</math><br />
 
 
<math>\begin{aligned}
\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\
\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\
p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\  
p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\  
Zeile 162: Zeile 191:
       &=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\
       &=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\
   p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\
   p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\
       & =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{aligned}</math>
       & =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{align}</math>


Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br />
Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br />
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Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>6,63\}</math>
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>6,63\}</math>


* <math>v=9,4\in\mbox{Ablehnungsbereich}\rightarrow\mbox{\glqq}H_1\mbox{\grqq}</math><br />
* <math>v=9,4\in\mbox{Ablehnungsbereich} \rightarrow </math> " <math>H_1</math> " <br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.
* Weiß man nicht; wir hoffen nicht!
* Weiß man nicht; wir hoffen nicht!
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===Dicke der Fahrbahndecke===
===Dicke der Fahrbahndecke===


<math>H_0:\mu\geq\mu_0=3,5\hspace{1cm}H_1:\mu<\mu_0=3,5</math><br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=3,5 \quad H_1:\mu<\mu_0=3,5</math><br />
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.<br />
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.<br />
Risikobetrachtung:<br />
Risikobetrachtung:<br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=\mbox{\glqq Fahrbahndecke zu dünn, muss Abzüge hinnehmen\grqq}</math>|Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen<br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=\mbox{Fahrbahndecke zu dünn, muss Abzüge hinnehmen }</math>|Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen<br />
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit <math>\alpha</math> vorgegeben ist.<br />
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit <math>\alpha</math> vorgegeben ist.<br />
===Durchmesser von Wellen===
===Durchmesser von Wellen===


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Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br />
Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br />
Prüfwert: <math>\begin{aligned}
Prüfwert: <math>\begin{align}
     v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\
     v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\
     &=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\
     &=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\
     &=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\
     &=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\
     &=&1300/120=10,83\approx10,8\end{aligned}</math>
     &=&1300/120=10,83\approx10,8\end{align}</math>


===FKK===
===FKK===
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===Gewinnspiel–Automat===
===Gewinnspiel–Automat===


<math>U_i=\mbox{"`Ertrag pro Spiel"'}</math>, <math>i=1,\ldots,n=50</math>, <math>n>30</math><br />
<math>U_i=\mbox{Ertrag pro Spiel}</math>, <math>i=1,\ldots,n=50</math>, <math>n>30</math><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n=-0,58</math>, <math>S^2=\sum(U_i-\overline{U})^2/(n-1)=0,82</math><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n=-0,58</math>, <math>S^2=\sum(U_i-\overline{U})^2/(n-1)=0,82</math><br />
<math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br />
<math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br />
<math>H_0:\mu\geq0;\hspace{1cm}H_1:\mu<0</math><br />
<math>H_0:\mu\geq0; \quad H_1:\mu<0</math><br />
asymptotisch<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0,1)</math>daher für <math>\mu_0=0</math> <math>\begin{aligned}
asymptotisch
     0,05&=&P(V\leq c|H_0)=P\Bigg{(}\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg{)}=\Phi\Bigg{(}\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg{)}\\
<math>
0,95&=&1-\Phi\Bigg{(}\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg{)}=\Phi\Bigg{(}-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg{)}\\
V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0,1)
1,64&=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-0}{\sqrt{0,82}}\sqrt{50}\end{aligned}</math> <math>\rightarrow c=-1,64\cdot\sqrt{0,82}/\sqrt{50}=-0,21</math><br />
</math>
 
daher für  
 
<math>\mu_0=0</math>  
 
<math>
\begin{align}
     0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\
        &= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq  
                  \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \Big) \\
        &= \Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\
    \\
    0,95 &= 1-\Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\
        &= \Phi\Big( -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\
    \\
    1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50}
\end{align}
</math>
 
 
<math>\rightarrow c=-1,64\cdot\sqrt{0,82}/\sqrt{50}=-0,21</math><br />
 
===Grönländische Bohrlochkerne===
===Grönländische Bohrlochkerne===


Zeile 290: Zeile 342:
* es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.
* es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.


<math>\begin{aligned}
<math>\begin{align}
G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\
G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\
&=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\
&=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\
&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{aligned}</math>
&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{align}</math>


===Kaffee Packungen 2===
===Kaffee Packungen 2===
Zeile 315: Zeile 367:
<br />
<br />
Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der <math>H_0</math>, d.h. “<math>H_0</math>”<math>|H_1</math>; <math>P(</math>“<math>H_0</math>”|<math>H_1)=\beta</math><br />
Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der <math>H_0</math>, d.h. “<math>H_0</math>”<math>|H_1</math>; <math>P(</math>“<math>H_0</math>”|<math>H_1)=\beta</math><br />
Inhalt der Gütefunktion:<math>G(\mu)=\left\{
Inhalt der Gütefunktion:
\begin{tabular}{lc}
 
$P($"`$H_1$"'$|H_0)\leq\alpha$&für alle $\mu\geq\mu_0$\\
<math>G(\mu)=\left\{
$P($"`$H_1$"'$|H_1)=1-\beta$&für alle $\mu<\mu_0$.\\
    \begin{array}{lc}
\end{tabular}\right.</math>Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br />
        P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0) \leq \alpha & \text{ für alle } \mu \geq \mu_0 \\
Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{aligned}
        P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1) = 1-\beta &   \text{ für alle } \mu < \mu_0.\\
    \end{array}
\right.
</math>
 
Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br />
Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{align}
     G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\
     G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\
     &=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\
     &=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\
     &=& 1-\beta=0,64058\end{aligned}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math>
     &=& 1-\beta=0,64058\end{align}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math>


===Kaffee Packungen===
===Kaffee Packungen===
Zeile 330: Zeile 388:
<li><p><math>H_0:\mu\leq\mu_0=500</math> g<math>H_1:\mu>\mu_0=500</math> g<br />
<li><p><math>H_0:\mu\leq\mu_0=500</math> g<math>H_1:\mu>\mu_0=500</math> g<br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math> Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden<br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math> Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden<br />
<math>P(\mbox{\glqq}H_1\mbox{\grqq}|H_0)=\alpha=0,02275\rightarrow</math> klein halten</p></li>
<math>P(\text{} H_1 \text{}|H_0)=\alpha=0,02275\rightarrow</math> klein halten</p></li>
<li><p><math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math><br />
<li><p><math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math><br />
<math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math><br />
<math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math><br />
Zeile 348: Zeile 406:
|}
|}
</li>
</li>
<li><p><math>v=(504,5-500)/2=2,25\in</math> Ablehnungsbereiches <math>\rightarrow \mbox{\glqq}H_1\mbox{\grqq}</math></p></li>
<li><p><math>v=(504,5-500)/2=2,25\in</math> Ablehnungsbereiches <math>\rightarrow \text{} H_1 \text{}</math></p></li>
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,02275</math> und basierend auf einem Stichprobenumfang von <math>n=25</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.</p></li>
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,02275</math> und basierend auf einem Stichprobenumfang von <math>n=25</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.</p></li>
<li><p><math>\begin{aligned}
<li><p>
\beta & = & 1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\
<math>
       & = & P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\
\begin{align}
       & = & P\Big{(}V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\Big{)}\\
\beta & = 1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\
       & = & P\Big{(}V\leq2-\frac{501-500}{2}\Big{)}\\
       & = P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\
       & = & P(V\leq1,5)=0,933193\end{aligned}</math></p>
       & = P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\
       & = P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\
       & = P(V\leq1,5)=0,933193\end{align}
</math>
</p>
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge <math>\mu=501</math> g beträgt.</p></li>
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge <math>\mu=501</math> g beträgt.</p></li>
<li><p><math>\begin{aligned}
<li><p>
G(\mu=499) & = & 1-P\Big{(}V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\Big{)}=1-P\Big{(}V\leq2-\frac{499-500}{2}\Big{)}\\
 
           & = & 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\
<math>
           & = & P(\mbox{\glqq}H_1\mbox{\grqq}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{aligned}</math></p>
\begin{align}
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist. <math>\begin{aligned}
G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\
G(\mu=502) & = & 1-P\Big{(}V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big{)}=1-P(V\leq1)\\
           & = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\
           & = & 1-0,841345=0,158655\\
           & = P(\text{} H_1 \text{}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{align}</math></p>
           & = & P(\mbox{\glqq}H_1\mbox{\grqq}|H_1)=1-\beta(\mu=502)\end{aligned}</math> Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der <math>H_1</math>, wenn das wahre <math>\mu=502</math> ist, beträgt 15,8655%.</p></li></ul>
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist.  
 
<math>\begin{align}
G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\
           & = 1-0,841345=0,158655\\
           & = P(\text{} H_1 \text{}|H_1)=1-\beta(\mu=502)
\end{align}
</math>  
 
Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der <math>H_1</math>, wenn das wahre <math>\mu=502</math> ist, beträgt 15,8655%.</p></li></ul>


===Lagerhaltungsprobleme===
===Lagerhaltungsprobleme===
Zeile 596: Zeile 667:
* <math>V=X:</math> Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=19</math><br />
* <math>V=X:</math> Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=19</math><br />
<math>V=\sum_{i=1}^nX_i</math><br />
<math>V=\sum_{i=1}^nX_i</math><br />
<math>X_i=\mbox{\glqq Heilerfolg beim i-ten Patienten\grqq}</math>
<math>X_i=\mbox{Heilerfolg beim i-ten Patienten}</math>
* V ist unter <math>H_0</math> <math>B.V.(n;\pi_0)\sim B.V.(19;0,35)</math>
* V ist unter <math>H_0</math> <math>B.V.(n;\pi_0)\sim B.V.(19;0,35)</math>
* Nicht-Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq12\}</math>; Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>12\}</math><br />
* Nicht-Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq12\}</math>; Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>12\}</math><br />
<math>\alpha_{exakt}=0,0031</math>
<math>\alpha_{exakt}=0,0031</math>
* *# <math>P(\mbox{\glqq}H_0\mbox{\grqq}|\pi_0=0,5\in H_1)=\beta_{(\pi_0=0,5)}=0,9165</math><br />
* *# <math>P(\text{} H_0 \text{}|\pi_0=0,5\in H_1)=\beta_{(\pi_0=0,5)}=0,9165</math><br />
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von <math>H_0</math>) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von <math>H_0</math>) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.
*# 2. <math>P(\mbox{\glqq}H_1\mbox{\grqq}|\pi_0=0,4\in H_1)=1-\beta_{(\pi_0=0,4)}=1-0,9884=0,0116</math><br />
*# 2. <math>P(\text{} H_1 \text{}|\pi_0=0,4\in H_1)=1-\beta_{(\pi_0=0,4)}=1-0,9884=0,0116</math><br />
Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der <math>H_1</math> beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.
Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der <math>H_1</math> beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.


Zeile 611: Zeile 682:
Ablehnungsbereich der <math>H_0:\{v|v>1,8\}</math><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0:\{v|v>1,8\}</math><br />
<math>n=900</math>; <math>p=828/900=0,92</math>; <math>v=(0,92-0,9)/0,01=2</math><br />
<math>n=900</math>; <math>p=828/900=0,92</math>; <math>v=(0,92-0,9)/0,01=2</math><br />
<math>v=2\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow \mbox{\glqq}H_1\mbox{\grqq}</math><br />
<math>v=2\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow \text{} H_1 \text{}</math><br />
Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,0359</math> und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang <math>n=900</math> konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.
Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,0359</math> und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang <math>n=900</math> konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.


Zeile 923: Zeile 994:
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n</math>, <math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n</math>, <math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br />
<math>H_0:\mu\geq165</math>;<math>H_1:\mu<165</math><br />
<math>H_0:\mu\geq165</math>;<math>H_1:\mu<165</math><br />
asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math> <math>\begin{aligned}
asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math>  
     0,05&=&P(V\leq c|H_0)=P\Bigg{(}\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg{)}=\Phi\Big{(}\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big{)}\\
 
     0,95&=&1-\Phi\Big{(}\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big{)}=\Phi\Big{(}-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big{)}\\
<math>\begin{align}
     1,64&=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}\end{aligned}</math> <math>\rightarrow c=165-1,64=163,36</math>
     0,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\
     0,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\
     1,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}
\end{align}
</math>  
 
<math>\rightarrow c=165-1,64=163,36</math>


===Wetterlage und Geschäftslage===
===Wetterlage und Geschäftslage===
Zeile 1.008: Zeile 1.085:
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, <math>\sigma=20</math> EUR;<br />
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, <math>\sigma=20</math> EUR;<br />
<math>\overline{X}</math>:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, <math>\overline{X}</math> ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=100>30)</math> <math>N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> mit <math>\sigma/\sqrt{n}=20/10=2</math><br />
<math>\overline{X}</math>:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, <math>\overline{X}</math> ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=100>30)</math> <math>N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> mit <math>\sigma/\sqrt{n}=20/10=2</math><br />
<math>\mu_0=400</math>, <math>\alpha=0,050503</math>, <math>z_{0,949497}=1,64</math>, <math>\mu_1=406</math>, <math>H_0:\mu\leq400\hspace{1cm}H_1:\mu>400</math> <math>G(\mu_1)=1-P\mbox{\huge{(}}V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\mbox{\huge{)}}</math> <math>G(\mu_1=406)=1-P(V\leq1,64-(406-400)/2)=1-P(V\leq-1,36)=1-(1-P(V\leq1,36))=P(V\leq1,36)=0,913085</math>, <math>\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087</math><br />
<math>\mu_0=400</math>, <math>\alpha=0,050503</math>, <math>z_{0,949497}=1,64</math>, <math>\mu_1=406</math>, <math>H_0:\mu\leq400\quad H_1:\mu>400</math>  
 
<math>G(\mu_1)=1-P\big(V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\big)</math>  
 
<math>
\begin{align}
G(\mu_1=406) &= 1-P(V\leq1,64-(406-400)/2) \\
            &= 1-P(V\leq-1,36) \\
            &= 1-(1-P(V\leq1,36)) \\
            &= P(V\leq1,36) \\
            &= 0,913085
\end{align}
</math>,  
 
<math>\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087</math><br />
 
===Zigarettenpreis===
===Zigarettenpreis===


Zeile 1.029: Zeile 1.121:
<math>n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}</math><br />
<math>n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}</math><br />
<math>\mu_0=15</math>; <math>\mu=14,8</math>; <math>\sigma=0,4964</math>; <math>\alpha=0,07927</math>; <math>c_{0,92073}=1,41</math>; <math>\beta=1-G(\mu)</math><br />
<math>\mu_0=15</math>; <math>\mu=14,8</math>; <math>\sigma=0,4964</math>; <math>\alpha=0,07927</math>; <math>c_{0,92073}=1,41</math>; <math>\beta=1-G(\mu)</math><br />
<math>\begin{aligned}
 
G(\mu) & = & P\mbox{\Big{(}}V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\mbox{\Big{)}}\\
<math>
G(14,8) & = & P\mbox{\Big{(}}V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49}\mbox{\Big{)}}\\
\begin{align}
& = & P(V\leq-1,41+2,82)\\
G(\mu)   &= P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\
& = & P(V\leq1,41)\\
G(14,8) &= P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\
& = & 0,92073\\
        &= P(V\leq-1,41+2,82)\\
\beta & = &1-0,92073=0,07927\end{aligned}</math>
        &= P(V\leq1,41)\\
        &= 0,92073\\
\beta   &= 1-0,92073=0,07927\end{align}</math>

Aktuelle Version vom 15. Juli 2020, 14:14 Uhr

1000g–Portionen





d.h. ist das Quantil der

Anzahl der Kinder

Unter gilt:





– beobachtete absolute Häufigkeit – unter erwartete absolute Häufigkeit
für alle und für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.


16 25 81 3,24
60 75 225 3,00
92 75 17 289 3,853333
32 25 7 49 1,96

(kein Parameter war zu schätzen)
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für :

signifikant zum 1%–Niveau

Arbeitsproduktivität

: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt, Stück/Stunde
: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang ist approximativ (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, );

Ausfallsicherheit


Betriebszeit eines Servers:
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von Stunden
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert
Stunden Stunden
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art ist das Signifikanzniveau , mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter einer t–Verteilung mit Freiheitsgraden. Kritischer Wert: Da ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von fällt, besteht keine Veranlassung abzulehnen.

Ausgaben für Urlaubsreisen

Auswahlsatz Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden; der Grundgesamtheit unbekannt;;
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben:
Teststatistik:Wert der Teststatistik für die Stichprobe:

Batterien Lebensdauer

  • –Anpassungstest
  • : Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt

: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt

  • X: Lebensdauer einer Batterie ist unter –verteilt mit Freiheitsgraden, wenn für alle gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)
Klassen
1 -300 10 160 1600 0.16 16
2 300-340 10 320 3200 0.12 12
3 340-460 60 400 24000 0.45 45
4 460- 20 560 11200 0.27 27
100 40000
Klassen
1 -300 -6 36 2.25
2 300-340 -2 4 0.33
3 340-460 15 225 5.00
4 460 -7 49 1.82