Testtheorie/Lösungen

1000g–Portionen

$X\sim N(1000;25),\quad {\overline {X}}\sim N(1000;5),\quad n=25$
$\alpha =0,05=P({\overline {X}}>1000+c{\mbox{ oder }}{\overline {X}}<1000-c)=1-P(1000-c\leq {\overline {X}}\leq 1000+c)$
$U=({\overline {X}}-1000)/5\sim N(0;1)$
$0,05=P(-c/5\leq U\leq c/5)=\Phi (c/5)-\Phi (-c/5)$
d.h. $c/5$ ist das $1-\alpha /2=0,975$ Quantil der $N(0;1)\rightarrow c/5=z_{0,975}=1,96;\quad c=9,8$

Anzahl der Kinder

$H_{0}:P({\mbox{Junge}})=P({\mbox{Mädchen}})\quad H_{1}:P({\mbox{Junge}})\neq P({\mbox{Mädchen}})$$V=\sum _{i=1}^{I}{\frac {(h_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}$Unter $H_{0}$ gilt:

$P(3{\mbox{J}},0{\mbox{M}})=0,125=1/8$
$P(2{\mbox{J}},1{\mbox{M}})=0,125\cdot 3=3/8$
$P(1{\mbox{J}},2{\mbox{M}})=0,125\cdot 3=3/8$
$P(0{\mbox{J}},3{\mbox{M}})=0,125=1/8$
$h_{j}$ – beobachtete absolute Häufigkeit$np_{i}$ – unter $H_{0}$ erwartete absolute Häufigkeit
$np_{i}>1$ für alle $i$ und $np_{i}\geq 5$ für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.

$h_{j}$	$np_{i}$	$h_{j}-np_{i}$	$(h_{j}-np_{i})^{2}$	$\chi ^{2}=(h_{j}-np_{i})^{2}/np_{i}$
16	25	$-9$	81	3,24
60	75	$-15$	225	3,00
92	75	17	289	3,853333
32	25	7	49	1,96

$v=12,053333\quad f=I-1-k=4-1=3;\quad k=0$ (kein Parameter war zu schätzen)
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für $f=3$:
$1-\alpha :0,99\quad \chi ^{2}=11,35\quad 1-\alpha :0,995\quad \chi ^{2}=12,84$
signifikant zum 1%–Niveau

Arbeitsproduktivität

$X$: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,$\sigma =0,8$ Stück/Stunde
${\overline {X}}$: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang $n=64$”${\overline {X}}$ ist approximativ $N(\mu ;\sigma /{\sqrt {n}})$ (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, $n=64>30$);
$\sigma /{\sqrt {n}}=0,8/8=0,1;\quad \mu _{0}=5,5;\quad \alpha =0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_{0}:\mu =5,5;\quad H_{1}:\mu \neq 5,5;\quad \mu _{1}=5,1$

Ausfallsicherheit

$X={\mbox{Ausfallzeit eines Servers in Stunden}}\sim N(\mu ,\sigma )$
Betriebszeit eines Servers: $365{\mbox{ Tage}}\cdot 24{\mbox{ Stunden}}=8760{\mbox{ Stunden}}$
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von $8760=87,6$ Stunden
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von $\mu _{0}$ nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert
$H_{0}:\mu \geq \mu _{0}=87,6$ Stunden$H_{1}:\mu <\mu _{0}=87,6$ Stunden
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art $P($“$H_{1}$”$|H_{0})$ ist das Signifikanzniveau $\alpha$, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da $\sigma$ der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter $H_{0}$ einer t–Verteilung mit $f=n-1=24$ Freiheitsgraden. Kritischer Wert: $t_{0,95;24}=-1,711$$v={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{s}}{\sqrt {n}}={\frac {84,2-87,6}{10}}{\sqrt {25}}=-1,70$Da $v>t_{0,95;24}$ ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von $H_{0}$ fällt, besteht keine Veranlassung $H_{0}$ abzulehnen.

Ausgaben für Urlaubsreisen

Auswahlsatz $n/N=10000/2500000=0,04<0,05\rightarrow$ Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden;$\sigma$ der Grundgesamtheit unbekannt;$N=2500000$;
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben: $10000000000\rightarrow \mu _{0}=10000000000/2500000=4000$$n=10000;\quad {\overline {x}}=3780;\quad s=2290$
Teststatistik:$V={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{S}}{\sqrt {n}}$Wert der Teststatistik für die Stichprobe:$v={\frac {3780-4000}{2290}}{\sqrt {10000}}=-9,606987\approx -9,61$

Batterien Lebensdauer

• $\chi ^{2}$–Anpassungstest
• $H_{0}$: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt
  

$H_{1}$: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt

• X: Lebensdauer einer Batterie$V=\sum _{i=1}^{I}{\frac {(h_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}$ ist unter $H_{0}$ $\chi ^{2}$–verteilt mit $f=I-1-k$ Freiheitsgraden, wenn für alle $i$ $np_{i}\geq 5$ gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)

$i$	Klassen	$h_{i}$	${\overline {x}}_{i}$	$h_{i}{\overline {x}}_{i}$	$p_{i}$	$np_{i}$
1	-300	10	160	1600	0.16	16
2	300-340	10	320	3200	0.12	12
3	340-460	60	400	24000	0.45	45
4	460-	20	560	11200	0.27	27
	100		40000

$i$	Klassen	$h_{i}-np_{i}$	$(h_{i}-np_{i})^{2}$	${\frac {(h_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}$
1	-300	-6	36	2.25
2	300-340	-2	4	0.33
3	340-460	15	225	5.00
4	460	-7	49	1.82
			$v=9.40$

$f=4-1-2=1$