Quelltext der Seite Verteilung des Stichprobenanteilswertes

{{Stichprobentheorie}}
{{SubpageToc|Beispiel: Haushaltsgröße|Beispiel: Urne}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Stichprobenanteilswert===

Vorausgesetzt wird eine [[dichotomes Merkmal|dichotome]] [[Grundgesamtheit]], in der ein Anteil <math>\pi</math> von [[Statistisches Element|Elementen]] eine Eigenschaft <math>A</math> aufweist und ein Anteil <math>1 - \pi</math> diese Eigenschaft nicht besitzt.

Die zufällige Entnahme eines [[Statistisches Element|Elementes]] aus dieser [[Grundgesamtheit]] führt zu einer [[Zufallsvariable]]n, die den Wert Eins annimmt, wenn das gezogene [[Statistisches Element|Element]] die Eigenschaft <math>A</math> aufweist, und den Wert Null annimmt, wenn das gezogene [[Statistisches Element|Element]] diese Eigenschaft nicht hat.

Bei <math>n</math>-maliger Ziehung von [[Statistisches Element|Elementen]] erhält man <math>n</math> [[Zufallsvariable]]n <math>X_{1},\ldots,X_{n}</math> ([[Stichprobenvariable]]n), die alle nur die Werte Eins oder Null annehmen können.

Es bezeichne <math>X\;</math> die Anzahl, also die [[absolute Häufigkeit]] der [[Statistisches Element|Elemente]] mit der Eigenschaft <math>A</math> in einer [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math>:

<math>X = \sum\limits_{i=1}^{n} X_{i}</math>

Dann ist

<math>\widehat{\pi} = \frac{X}{n} = \frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n} X_{i}</math>

der ''Stichprobenanteilswert'', also die [[relative Häufigkeit]] der [[Statistisches Element|Element]]e mit der Eigenschaft <math>A</math> in einer [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math>.

Nach der Ziehung der [[Stichprobe]] liegt eine konkrete Anzahl <math>x</math> von [[Statistisches Element|Elementen]] mit der Eigenschaft <math>A</math> in der [[Stichprobe]] vor und der Stichprobenanteilswert hat sich zu einem [[Stichprobenwerte|Stichprobenwert]] <math>p = \frac{x}{n}</math> [[Realisation|realisiert]].

===Verteilung des Stichprobenanteilswertes===

<math>X\;</math> und <math>\widehat{\pi}</math> variieren von [[Stichprobe]] zu [[Stichprobe]] (gleichen [[Stichprobenumfang|Umfang]]s). 

Sie sind [[Stichprobenfunktion]]en, da sie als Funktionen von [[Stichprobenvariable]]n definiert sind, und damit [[Zufallsvariable]]n.

Für diese [[Stichprobenfunktion]]en sind ihre [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] mit [[Erwartungswert]] und die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]], d.h. die [[Stichprobenverteilung]]en, zu bestimmen. 

Die [[Stichprobenverteilung]]en hängen entscheidend davon ab,

* auf welche Art die [[Zufallsstichprobe]] gezogen wird ([[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen|Zufallsauswahlmodell mit]] oder [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]]) und
* welchen [[Stichprobenumfang|Umfang]] die [[Grundgesamtheit]] hat.

====Einfache Zufallsstichprobe (Ziehen mit Zurücklegen)====

Wird eine [[einfache Zufallsstichprobe]] aus der oben beschriebenen [[Grundgesamtheit]] gezogen, dann entspricht das einem [[Bernoulli-Experiment]]. 

Alle [[Stichprobenvariable]]n haben die [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]]

<math>f(x_{i},\pi)=\begin{cases}\pi^{x_{i}}\cdot (1-\pi)^{1-x_{i}}\quad & \mbox{, wenn }\; x_{i}=0,\;1\\
0 & \mbox{, sonst}\end{cases}</math>

mit [[Erwartungswert]] <math>E\left[X_{i}\right]=\pi</math> und <math>Var(X_{i})=\pi\cdot(1-\pi)</math>.

Unter diesen Bedingungen weist die [[Stichprobenfunktion]] <math>X\;</math> eine [[Binomialverteilung]] mit den [[Parameter]]n <math>n</math> und <math>\pi</math> auf, <math>X\sim B(n;\pi)\;</math>:

<math>f_{B}(x|n;\pi)=\begin{cases} {n\choose x}\cdot\pi^{x}\cdot (1-\pi)^{n-x} & \mbox{, wenn }\; x=0,1,\ldots,n\\
0 & \mbox{, sonst}\end{cases}</math>

für die gilt:

<math>E\left[ X \right]=n\cdot\pi,\ \quad Var(X)=\sigma^{2}(X)=n\cdot\pi\cdot(1-\pi)</math>

Da die Beziehung <math>\widehat{\pi}=\frac{X}{n}</math> besteht und darin <math>\frac{1}{n}</math> eine Konstante ist, gilt für den [[Stichprobenanteilswert]]
<math>\widehat{\pi}</math> die gleiche [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]]. 

Für den [[Erwartungswert]] und die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] von <math>\widehat{\pi}</math> folgt:

<math>E\left[\widehat{\pi}\right]=E\left[\frac{X}{n}\right]=\frac{E[X]}{n}=\frac{n{\cdot\pi}}{n}=\pi</math>

<math>Var(\widehat{\pi})=\sigma^{2}(\widehat{\pi})=Var\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{Var(X)}{n^{2}}=\frac{n{\cdot\pi\cdot(1-\pi)}}{n^{2}}=\frac{\pi\cdot(1-\pi)}{n}
</math>

====Uneingeschränkte Zufallsstichprobe (Ziehen ohne Zurücklegen)====

Das [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen]] ist nur für eine endliche [[Grundgesamtheit]] von Bedeutung. 

Es sei <math>N</math> der [[Stichprobenumfang|Umfang]] der [[Grundgesamtheit]], <math>M</math> die Anzahl der [[Statistisches Element|Element]]e mit der Eigenschaft <math>A</math> und <math>n</math> der [[Stichprobenumfang]]. 

Dann ist <math>\pi =\frac{M}{N}</math> der Anteil der [[Statistisches Element|Element]]e mit der Eigenschaft in der [[Grundgesamtheit]]. Die [[Stichprobenfunktion]]en <math>X\;</math> und <math>\widehat{\pi}</math> sind wie zuvor definiert.

Bei der [[Stichprobe]]nentnahme [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] folgt <math>X\;</math> einer [[Hypergeometrische Verteilung|hypergeometrischen Verteilung]] mit den [[Parameter]]n <math>N</math>, <math>M</math> und <math>N</math>; <math>X\sim H(N,M,n)\;</math>:

<math>F_{H}(x;N,M,n)=\begin{cases}\cfrac{{M\choose x}{N-M\choose n-x}}{{N\choose n}}\quad & \mbox{, wenn }\; x=\max\left(0,n-(N-M)\right),\ldots,\min(n,M)\\
0 & \mbox{, sonst}\end{cases}</math>

[[Erwartungswert]] und [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] der [[Hypergeometrische Verteilung|hypergeometrisch verteilten]] [[Stichprobenfunktion]] <math>X\;</math> sind:

<math>E[X]=n\cdot\frac{M}{N}=n\cdot \pi</math>

<math>Var(X)=\sigma^{2}(X)=n\cdot \pi\cdot (1-\pi)\frac{N-n}{N-1}=n\cdot\frac{M}{N}\cdot\frac{N-M}{N}\cdot\frac{N-n}{N-1}</math>

Die [[Stichprobenfunktion]] <math>\widehat{\pi}</math> weist die gleiche [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] wie <math>X = n \cdot \widehat{\pi}</math> auf. 

Für den [[Erwartungswert]] und die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] von <math>\widehat{\pi}</math> folgt:

<math>E\left[ \widehat{\pi}\right] =\frac{1}{n}\cdot E[X]=\pi</math>

<math>Var(\widehat{\pi})=\sigma^{2}(\widehat{\pi})=\frac{1}{n^{2}}\cdot \sigma^{2}(X)=\frac{\pi\cdot (1-\pi)}{n}\cdot\frac{N-n}{N-1}</math>

=={{Vorlage:Überschrift_2}}==

===Approximation der Verteilung des Stichprobenmittelwertes===

====Einfache Zufallsstichprobe====

Entsprechend dem [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatzes]] kann für einen genügend großen [[Stichprobenumfang]] die [[Binomialverteilung]]
durch eine [[Normalverteilung]] [[Approximation|approximiert]] werden:

<math>X\approx N(\mu,\sigma^{2})\; \mbox{ mit }\; \mu=E[X]=n\cdot\pi\;\mbox{ und }\; \sigma^{2}=\sigma^{2}(X)=n\cdot\pi\cdot(1-\pi)</math>

bzw.

<math>\widehat{\pi}\approx N(\mu,\sigma^2)\; \mbox{ mit }\; \mu=E[\widehat{\pi}]=\pi\;\mbox{ und }\;\sigma^{2}=\sigma^{2}(\widehat{\pi})=\frac{\pi\cdot(1-\pi)}{n}</math>.

Der [[Stichprobenumfang]] wird als genügend groß angesehen, wenn <math>n\cdot\pi\geq5</math> und <math>n\cdot(1-\pi)\geq5</math> sind.

Für eine bessere [[Approximation]] sollte die [[Stetigkeitskorrektur]] berücksichtigt werden, d.h. für die Bestimmung der [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P(x_{1}\leq X\leq x_{2})</math> über die [[Normalverteilung]] sollte

<math>z_{1}=\frac{x_{1}-0.5-n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}\qquad z_{2}=\frac{x_{2}+0.5-n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}</math>

und für die Bestimmung der [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P(p_{1}\leq\widehat{\pi}\leq p_{2})</math>

<math>z_{1}=\frac{\frac{n\cdot p_{1}-0.5}{n}-\pi}{\sqrt{\frac{\pi\cdot (1-\pi)}{n}}}=\frac{p_{1}-\frac{1}{2n}-\pi}{\sqrt{\frac{\pi\cdot (1-\pi)}{n}}}</math>

<math>z_{2}=\frac{\frac{n\cdot p_{2}-0.5}{n}-\pi}{\sqrt{\frac{\pi\cdot (1-\pi)}{n}}}=\frac{p_{2}-\frac{1}{2n}-\pi}{\sqrt{\frac{\pi\cdot (1-\pi)}{n}}}</math>

verwendet werden.

====Uneingeschränkte Zufallsstichprobe====

* Für große <math>N</math> und <math>M</math> sowie einen kleinen [[Auswahlsatz]] <math>\frac{n}{N}</math> kann bei einer [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe|uneingeschränkten Zufallsstichprobe]] die [[Hypergeometrische_Verteilung|hypergeometrische Verteilung]] durch eine [[Binomialverteilung]] mit

: <math>\pi =\frac{M}{N}</math> relativ gut [[Approximation|approximiert]] werden. 

: Als Faustregel gilt: <math>\frac{n}{N} \leq 0,05</math>.

* Entsprechend dem [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatzes]] kann auch bei einer [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe|uneingeschränkten Zufallsstichprobe]] für einen genügend großen [[Stichprobenumfang]] die [[Hypergeometrische Verteilung|hypergeometrische Verteilung]] durch eine [[Normalverteilung]] [[Approximation|approximiert]] werden:

: <math>X\approx N(\mu,\sigma)\mbox{ mit } \mu=E[X]=n\cdot\pi \mbox{ und }\sigma =\sigma(X)</math>

: bzw.

: <math>\widehat{\pi}\approx N(\mu,\;\sigma) \mbox{ mit } \mu=E[\widehat{\pi}]=\pi \mbox{ und }\sigma=\sigma(\widehat{\pi})</math>

: Der [[Stichprobenumfang]] wird als genügend groß angesehen, wenn <math>n\cdot \frac{M}{N} \geq 5</math>, <math>n\cdot(1-\frac{M}{N})\geq5</math> und <math>\frac{n}{N}\leq 0,05</math> sind.

: Für eine bessere [[Approximation]] sollte die [[Stetigkeitskorrektur]] berücksichtigt werden.