Quelltext der Seite Stetige Gleichverteilung

{{Verteilungsmodelle}} 


=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Stetige Gleichverteilung===

Eine [[stetige Zufallsvariable]] <math>X</math>, die nur Werte im Intervall <math>[a,b]</math> annehmen kann, heißt ''gleichverteilt'', wenn ihre Dichte die folgende Form hat:

<math>f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}\quad & \mbox{, wenn } a\leq x\leq b \\
0\quad & \mbox{, sonst}
\end{cases}</math>

Für die [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] einer ''stetigen Gleichverteilung'' gilt:

<math>F(x) = \begin{cases}
0 \quad & \mbox{, wenn } x < a \\
\frac{x - a}{b - a} \quad & \mbox{, wenn }a \leq x \leq b \\
1 \quad & \mbox{, wenn } b \leq x\end{cases}
</math>

Für den [[Erwartungswert]] und die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] einer stetigen Gleichverteilung gilt

<math> E[X] = \frac{b + a}{2}</math>

<math>Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}</math>

Die stetige Gleichverteilung hängt von den [[Parameter]]n <math>a</math> und <math>b</math> ab.

=={{Vorlage:Überschrift_2}}==

===Erklärungen zur stetigen Gleichverteilung===

Es ist zu prüfen, ob die Funktion

<math>f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}\quad & \mbox{, wenn } a\leq x\leq b \\
0\quad & \mbox{, sonst}
\end{cases}</math>

eine [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] ist:

Da <math>b > a</math> ist, folgt <math>f(x) \geq  0 </math> für alle <math>x</math>, d.h. die Funktion verläuft in jedem Bereich der reellen Zahlen auf oder
oberhalb der Abszisse. 

Weiterhin gilt

<math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int\limits_{a}^{b}\frac{1}{b-a}\,dx=\left[ \frac{x}{b-a}\right] _{a}^{b}=\frac{b-a}{b-a}=1</math>.

Mit obiger Funktion <math>f(x)</math> ist somit eine [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] gegeben.

Man erhält den Wert der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] <math>F(x)</math> wie folgt:

<math>F(x) = \int\limits_a^x\cdot \frac{1}{b - a}\,dv = \left[ \frac{v}{b - a} \right]_a^x = \frac{x - a}{b - a}</math>

[[Erwartungswert]] und [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] ergeben sich zu:

<math>E(X) = \int\limits_a^b x\cdot \frac{1}{b - a}\,dx = \left[ \frac{x^2}{2\cdot (b - a)}\right]_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2\cdot (b - a)} = \frac{(b - a)\cdot (b + a)}{2\cdot (b - a)} =\frac{b + a}{2}</math>

<math>Var(X) = \int\limits_a^b x^2\cdot  \frac{1}{b - a}\,dx - \left( \frac{b + a}{2}
\right)^2 = \left[ \frac{x^3}{3\cdot (b - a)} \right]_a^b - \left( \frac{b + a}{2} \right)^2 = \frac{b^3 - a^3}{3\cdot (b - a)} - \frac{b + a}{4} = \frac{(b - a)^2}{12}</math>

Die allgemeine Form der Dichte- und der Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung zeigen die nachfolgenden Graphiken.

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_StetigeGleichverteilung_Dichtefunktion_SGV_R00480004800000000000000_plot.html" />
<iframe k="wiwi" p="examples/stat_StetigeGleichverteilung_Verteilungsfunktion_SGV_R00480004800000000000000_plot.html" />
=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Straßenbahn===

Eine Person kommt, ohne auf die Uhr zu sehen, zur Straßenbahn, welche im 20-Minuten-Takt fährt. 

Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math>: "Wartezeit auf die nächste Straßenbahn in Minuten" kann dann jeden Wert aus dem Intervall <math>[0, 20]</math> annehmen, Pünktlichkeit der Straßenbahn vorausgesetzt. 

Damit folgt

<math>P(0\leq X \leq 20) = 1</math>  mit <math>a = 0</math> und <math>b = 20</math>.

Da die Person rein zufällig in einem hinreichend kleinen, gleichmöglichen Zeitintervall konstanter Länge (etwa von der Länge 30 Sekunden) an der Haltestelle eintrifft, kann die [[stetige Zufallsvariable]] <math>X = \{\mbox{Wartezeit}\}</math> als ''gleichverteilt'' angesehen werden. 

Damit ist die [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] von <math>X\;</math>:

<math>f(x)=\begin{cases}\frac{1}{20}\quad & \mbox{, wenn }\ 0<x\leq b \\
0\quad & \mbox{, sonst}\end{cases}
</math>

Die [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] lautet:

<math>F(x)=\begin{cases}0\quad & \mbox{, wenn } x<0 \\
\frac{1}{20}\cdot x\quad & \mbox{, wenn } 0\leq x\leq 20 \\
1\quad & \mbox{, sonst}\end{cases}</math>

Der [[Erwartungswert]] von <math>X\;</math> ist

{|
|<math>\,E[X]</math>
|<math> = \int\nolimits_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x)\,dx = \int\nolimits_0^{20} x\cdot \frac{1}{20}\,dx </math>
|-
|
|<math>=\frac{1}{20}\cdot \left[ \frac{1}{2}\cdot x^2 \right]_{0}^{20} =\frac{1}{20}\cdot \left[\frac{1}{2}\cdot 20^2 - \frac{1}{2}\cdot 0^2 \right] = 10 </math>
|}

Falls sich die Person nicht besser orientiert, muss sie im Mittel mit einer Wartezeit von 10 Minuten rechnen.

Die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] ist

{|
|<math>\,Var(X)</math>
|<math>= \int\nolimits_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2\cdot f(x)\,dx =\int\nolimits_0^{20} (x - 10)^2 \cdot \frac{1}{20}\,dx </math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{20}\cdot  \int\nolimits_0^{20} (x^2 - 20x + 100)\,dx</math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{20}\cdot \left[ \frac{1}{3}\cdot x^3 - \frac{1}{2}\cdot 20\cdot x^2 + 100x \right]_{0}^{20}</math>
|-
|
|<math>= \frac{1}{20}\cdot \left[ \frac{1}{3}\cdot 20^3 - \frac{1}{2}\cdot 20^3 + 100 \cdot 20\right] = 33,33 </math>
|}

Die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] ist somit <math>\sigma = 5,77</math>.

Die [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] und die [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] sehen wie folgt aus:

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<iframe k="wiwi" p="examples/stat_StetigeGleichverteilung_Verteilungsfunktion_0_20_R00480004800000000000000_plot.html" />

[[Kategorie:Statistik I&II]]